ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $6{\cos }^{2}t+\sin t>4$;

б) $6{\cos }^{2}t+\sin t\le 4$

а) $6{\cos }^{2}t+\sin t>4$;

$6-6{\sin }^{2}t+\sin t>4$;

$6{\sin }^{2}t-\sin t-2<0$;

$\mathrm{}$$\mathrm{}$Пусть $y=\sin t$, тогда:
$6y^2-y-2<0$;
$D=1^2+4\cdot 6\cdot 2=1+48=49$, тогда:
$y_1=\frac{1-7}{2\cdot 6}=\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2}$;
$y_2=\frac{1+7}{2\cdot 6}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$;
$(y+\frac{1}{2})(y-\frac{2}{3})<0$;
$-\frac{1}{2}<y<\frac{2}{3}$;

Первое значение:
$\sin t>-\frac{1}{2}$;
$t=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$;
$-\frac{\pi }{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{6}+2\pi n$;

Второе значение:
$\sin t<\frac{2}{3}$;
$t=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{2}{3}+\pi n$;
$-\pi -\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n<t<\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n$;

Ответ:
$-\frac{\pi }{6}+2\pi n<t<\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n$;
$\pi -\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{6}+2\pi n$.

б) $6{\cos }^{2}t+\sin t\le 4$;

$6-6{\sin }^{2}t+\sin t\le 4$; $\mathrm{}$

$6{\sin }^{2}t-\sin t-2\ge 0$;

Пусть $y=\sin t$, тогда:
$6y^2-y-2\ge 0$;
$D=1^2+4\cdot 6\cdot 2=1+48=49$, тогда:
$y_1=\frac{1-7}{2\cdot 6}=\frac{-6}{12}=-\frac{1}{2}$;
$y_2=\frac{1+7}{2\cdot 6}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$;
$(y+\frac{1}{2})(y-\frac{2}{3})\ge 0$;
$y\le -\frac{1}{2}$ и $y\ge \frac{2}{3}$;

Первое значение:
$\sin t\le -\frac{1}{2}$;
$t=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$;
$\frac{7\pi }{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi }{6}+2\pi n$;

Второе значение:
$\sin t\ge \frac{2}{3}$;
$t=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{2}{3}+\pi n$;
$\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n\le t\le \pi -\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n$;

Ответ:
$\frac{7\pi }{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi }{6}+2\pi n$;
$\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n\le t\le \pi -\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n$.

а) Неравенство: $6{\cos }^{2}t+\sin t>4$

Шаг 1: Перепишем исходное неравенство.
Заменим ${\cos }^{2}t$ через ${\sin }^{2}t$, используя формулу ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$. Получаем:

$$6{\cos }^{2}t+\sin t>4$$$$6(1-{\sin }^{2}t)+\sin t>4$$

Раскроем скобки:

$$6-6{\sin }^{2}t+\sin t>4$$

Шаг 2: Переносим все на одну сторону:

$$6-6{\sin }^{2}t+\sin t-4>0$$$$2-6{\sin }^{2}t+\sin t>0$$

Шаг 3: Умножим все на $-1$ (поменяется знак неравенства):

$$-2+6{\sin }^{2}t-\sin t<0$$$$6{\sin }^{2}t-\sin t-2<0$$

Теперь у нас есть квадратное неравенство $6{\sin }^{2}t-\sin t-2<0$.

Шаг 4: Сделаем замену $y=\sin t$, чтобы упростить выражение:

$$6y^2-y-2<0$$

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения.

Шаг 5: Найдем дискриминант $D$ для уравнения $6y^2-y-2=0$:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-2)=1+48=49$$

Шаг 6: Найдем корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-1)-\sqrt{49}}{2\cdot 6}=\frac{1-7}{12}=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$$$$y_2=\frac{-(-1)+\sqrt{49}}{2\cdot 6}=\frac{1+7}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$

Шаг 7: Рассмотрим интервал, на котором квадратное выражение $6y^2-y-2$ меньше нуля. Он будет находиться между корнями:

$$(y+\frac{1}{2})(y-\frac{2}{3})<0$$

Это неравенство выполняется, когда $-\frac{1}{2}<y<\frac{2}{3}$.

Шаг 8: Возвращаемся к переменной $y=\sin t$. Получаем:

$$-\frac{1}{2}<\sin t<\frac{2}{3}$$

Шаг 9: Решаем неравенства для $\sin t$:

1. $\sin t>-\frac{1}{2}$
2. $\sin t<\frac{2}{3}$

Для первого неравенства $\sin t>-\frac{1}{2}$:

$$t=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$$

Так как $\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6}$, получаем:

$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{6}+2\pi n$$

Для второго неравенства $\sin t<\frac{2}{3}$:

$$t=(-1{)}^n\cdot \arcsin \left(\frac{2}{3}\right)+\pi n$$$$-\pi -\arcsin \left(\frac{2}{3}\right)+2\pi n<t<\arcsin \left(\frac{2}{3}\right)+2\pi n$$

Ответ: Объединяя оба решения, получаем:

$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n<t<\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n$$$$\pi -\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n<t<\frac{7\pi }{6}+2\pi n$$

б) Неравенство: $6{\cos }^{2}t+\sin t\le 4$

Шаг 1: Как и в первой части, заменим ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$:

$$6{\cos }^{2}t+\sin t\le 4$$$$6(1-{\sin }^{2}t)+\sin t\le 4$$

Раскроем скобки:

$$6-6{\sin }^{2}t+\sin t\le 4$$

Шаг 2: Переносим все на одну сторону:

$$6-6{\sin }^{2}t+\sin t-4\le 0$$$$2-6{\sin }^{2}t+\sin t\le 0$$

Шаг 3: Умножаем все на $-1$ (меняется знак неравенства):

$$-2+6{\sin }^{2}t-\sin t\ge 0$$$$6{\sin }^{2}t-\sin t-2\ge 0$$

Теперь решаем квадратное неравенство $6{\sin }^{2}t-\sin t-2\ge 0$.

Шаг 4: Сделаем замену $y=\sin t$:

$$6y^2-y-2\ge 0$$

Это квадратное неравенство. Рассчитываем дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 6\cdot (-2)=1+48=49$$

Шаг 5: Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{1-7}{12}=-\frac{1}{2},y_2=\frac{1+7}{12}=\frac{2}{3}$$

Шаг 6: Рассмотрим, при каких значениях $y$ неравенство $6y^2-y-2\ge 0$ выполняется. Это выражение будет больше нуля при $y\le -\frac{1}{2}$ или $y\ge \frac{2}{3}$.

Шаг 7: Возвращаемся к переменной $y=\sin t$. Получаем два случая:

1. $\sin t\le -\frac{1}{2}$
2. $\sin t\ge \frac{2}{3}$

Шаг 8: Решим неравенства:

Для первого неравенства $\sin t\le -\frac{1}{2}$:

$$t=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$$

Получаем:

$$\frac{7\pi }{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi }{6}+2\pi n$$

Для второго неравенства $\sin t\ge \frac{2}{3}$:

$$t=(-1{)}^n\cdot \arcsin \left(\frac{2}{3}\right)+\pi n$$

Получаем:

$$\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n\le t\le \pi -\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n$$

Ответ: Объединяя оба решения, получаем:

$$\frac{7\pi }{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi }{6}+2\pi n$$$$\arcsin \frac{2}{3}+2\pi n\le t\le \pi -\arcsin \frac{2}{3}+2\pi$$