ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\operatorname{tg} x < \sqrt{3}$;

б) $\operatorname{ctg} x > 0$;

в) $\operatorname{tg} x < 0$;

г) $\operatorname{ctg} x > -1$

а) $\operatorname{tg} x < \sqrt{3}$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{tg} x = \sqrt{3};$$ $$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$;

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

б) $\operatorname{ctg} x > 0$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{ctg} x = 0;$$ $$x = \operatorname{arcctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Функция убывает на $(0; \pi)$;

Ответ:

$$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

в) $\operatorname{tg} x < 0$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{tg} x = 0;$$ $$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$;

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n.$$

г) $\operatorname{ctg} x > -1$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{ctg} x = -1;$$ $$x = \pi — \operatorname{arcctg} 1 + \pi n = \pi — \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$

Функция убывает на $(0; \pi)$;

Ответ:

$$\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$

а) $\operatorname{tg} x < \sqrt{3}$

Решение уравнения:

Для начала нам нужно решить уравнение:

$$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}.$$

Значение тангенса угла $x$ равно $\sqrt{3}$ при:

$$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3}.$$

Значение $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$ — это угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из тригонометрических таблиц известно, что:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Общее решение для этого уравнения будет:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это означает, что решение повторяется с периодом $\pi$.

Анализ функции:

Тангенс $\operatorname{tg} x$ является периодической функцией с периодом $\pi$, и она возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$. Это ключевая информация для нахождения решения неравенства.

Необходимо найти все значения $x$, для которых $\operatorname{tg} x < \sqrt{3}$. Поскольку $\operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$, для этого достаточно рассмотреть значения $x$, которые находятся между $-\frac{\pi}{2} + \pi n$ и $\frac{\pi}{3} + \pi n$ для каждого целого числа $n$.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

б) $\operatorname{ctg} x > 0$

Решение уравнения:

Для уравнения:

$$\operatorname{ctg} x = 0,$$

где $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, это условие выполняется, когда $\operatorname{tg} x$ стремится к бесконечности. Поскольку $\operatorname{ctg} x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то решение будет:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Анализ функции:

Функция $\operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0; \pi)$. Это свойство важно, поскольку нам нужно решить неравенство $\operatorname{ctg} x > 0$. На интервале $(0; \pi)$ функция $\operatorname{ctg} x$ принимает положительные значения, а это значит, что мы ищем такие значения $x$, которые лежат в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ для каждого целого числа $n$.

Ответ:

$$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

в) $\operatorname{tg} x < 0$

Решение уравнения:

Рассмотрим уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 0.$$

Это условие выполняется, когда $x = \pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, решение будет:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Анализ функции:

Функция $\operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$, а также имеет период $\pi$. Чтобы найти область, где $\operatorname{tg} x < 0$, нужно рассмотреть значения $x$, лежащие между $-\frac{\pi}{2} + \pi n$ и $\pi n$, так как на этих интервалах $\operatorname{tg} x$ принимает отрицательные значения.

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n.$$

г) $\operatorname{ctg} x > -1$

Решение уравнения:

Рассмотрим уравнение:

$$\operatorname{ctg} x = -1.$$

Из формулы $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$ видно, что это условие выполняется, когда $\operatorname{tg} x = -1$. Это происходит при:

$$x = \operatorname{arctg} (-1) + \pi n.$$

Значение $\operatorname{arctg} (-1) = -\frac{\pi}{4}$, следовательно, решение будет:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Анализ функции:

Функция $\operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0; \pi)$. Чтобы найти, где $\operatorname{ctg} x > -1$, нужно найти такие значения $x$, которые лежат между $\pi n$ и $\frac{3\pi}{4} + \pi n$, так как на этих интервалах $\operatorname{ctg} x$ больше, чем $-1$.

Ответ:

$$\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n.$$

Итоговое решение

• Для $\operatorname{tg} x < \sqrt{3}$ — ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$.
• Для $\operatorname{ctg} x > 0$ — ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$.
• Для $\operatorname{tg} x < 0$ — ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n$.
• Для $\operatorname{ctg} x > -1$ — ответ: $\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$.