ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\operatorname{tg} x < 3$;

б) $3 \operatorname{ctg} x — 1 > 0$;

в) $\operatorname{ctg} x \leq 2$;

г) $2 \operatorname{tg} x + 1 \geq 0$

а) $\operatorname{tg} x < 3$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{tg} x = 3;$$ $$x = \arctg 3 + \pi n;$$

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$;

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg 3 + \pi n.$$

б) $3 \operatorname{ctg} x — 1 > 0$;

$3 \operatorname{ctg} x > 1$;
$\operatorname{ctg} x > \frac{1}{3}$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{3};$$ $$x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{3} + \pi n;$$

Функция убывает на $(0; \pi)$;

Ответ:

$$\pi n < x < \operatorname{arcctg} \frac{1}{3} + \pi n.$$

в) $\operatorname{ctg} x \leq 2$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{ctg} x = 2;$$ $$x = \operatorname{arcctg} 2 + \pi n;$$

Функция убывает на $(0; \pi)$;

Ответ:

$$\operatorname{arcctg} 2 + \pi n \leq x < \pi + \pi n.$$

г) $2 \operatorname{tg} x + 1 \geq 0$;

$2 \operatorname{tg} x \geq -1$;
$\operatorname{tg} x \geq -\frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2};$$ $$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n;$$

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$;

Ответ:

$$-\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

а) $\operatorname{tg} x < 3$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = 3$:

Тангенс функции — это периодическая функция с периодом $\pi$, то есть $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$.

Чтобы найти решение уравнения $\operatorname{tg} x = 3$, нам нужно использовать арктангенс:

$$x = \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Арктангенс $\arctg 3$ — это угол, для которого тангенс равен 3. Это значение фиксировано, и его можно найти с помощью калькулятора, но оно нам нужно лишь как общее решение. Добавление $\pi n$ связано с периодичностью функции тангенса.

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$:

Функция $\operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, так как на этом интервале она монотонна. Тангенс стремится к $+\infty$ при $x \to \frac{\pi}{2}$ и к $-\infty$ при $x \to -\frac{\pi}{2}$.

Ответ:

Для того чтобы $\operatorname{tg} x < 3$, нужно найти, на каких интервалах $x$ эта неравенство выполняется. Мы знаем, что:

$$\operatorname{tg} x = 3 \quad \text{при} \quad x = \arctg 3 + \pi n.$$

Так как $\operatorname{tg} x$ возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, то решение неравенства $\operatorname{tg} x < 3$ будет на интервале:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \arctg 3 + \pi n.$$

Здесь мы получили, что $x$ должно быть между значением $\arctg 3$ и $-\frac{\pi}{2}$, с добавлением множителя $\pi n$ для учета периодичности.

б) $3 \operatorname{ctg} x — 1 > 0$

Преобразуем неравенство:

$$3 \operatorname{ctg} x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 3 \operatorname{ctg} x > 1 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{ctg} x > \frac{1}{3}.$$

Решение уравнения $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{3}$:

Котангенс функции также периодичен, и его период — $\pi$. Для уравнения $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{3}$, решение будет:

$$x = \operatorname{arcctg} \frac{1}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Здесь $\operatorname{arcctg}$ — это функция обратная котангенсу.

Функция убывает на $(0; \pi)$:

Функция $\operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0, \pi)$, поскольку котангенс стремится от $+\infty$ к $-\infty$ на этом интервале.

Ответ:

Так как $\operatorname{ctg} x > \frac{1}{3}$, то $x$ должно быть в интервале от $\pi n$ до $\operatorname{arcctg} \frac{1}{3} + \pi n$, так как функция убывает на $(0, \pi)$:

$$\pi n < x < \operatorname{arcctg} \frac{1}{3} + \pi n.$$

в) $\operatorname{ctg} x \leq 2$

Решение уравнения $\operatorname{ctg} x = 2$:

Аналогично предыдущему пункту, для уравнения $\operatorname{ctg} x = 2$ решение будет:

$$x = \operatorname{arcctg} 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Функция убывает на $(0; \pi)$:

Котангенс убывает на интервале $(0, \pi)$, как было сказано ранее.

Ответ:

Для неравенства $\operatorname{ctg} x \leq 2$ решения будут на интервале, который начинается от $\operatorname{arcctg} 2 + \pi n$ и заканчивается на $\pi + \pi n$, так как котангенс на интервале $(0, \pi)$ принимает значения от $+\infty$ до $-\infty$. Таким образом, ответ:

$$\operatorname{arcctg} 2 + \pi n \leq x < \pi + \pi n.$$

г) $2 \operatorname{tg} x + 1 \geq 0$

Преобразуем неравенство:

$$2 \operatorname{tg} x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2 \operatorname{tg} x \geq -1 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x \geq -\frac{1}{2}.$$

Решение уравнения $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2}$:

Для уравнения $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2}$ решение будет:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Функция возрастает на $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$:

Тангенс возрастает на интервале $\left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$, и таким образом, для неравенства $\operatorname{tg} x \geq -\frac{1}{2}$ решение будет в интервале от $-\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$ до $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ:

Для $\operatorname{tg} x \geq -\frac{1}{2}$ решение будет:

$$-\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$