ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\operatorname{tg}^2 x > 9$;

б) $\operatorname{tg}^2 x > \operatorname{tg} x$;

в) $\operatorname{tg}^2 x < 9$;

г) $\operatorname{tg}^2 x < 2 \operatorname{tg} x$

а) $\operatorname{tg}^2 x > 9$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 > 9;$$ $$y^2 — 9 > 0;$$ $$(y + 3)(y — 3) > 0;$$ $$y < -3 \text{ и } y > 3;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x < -3;$$ $$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x > 3;$$ $$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$ $$\operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\operatorname{arctg} 3 + \pi n; \quad \operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

б) $\operatorname{tg}^2 x > \operatorname{tg} x$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 > y;$$ $$y^2 — y > 0;$$ $$y(y — 1) > 0;$$ $$y < 0 \text{ и } y > 1;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x < 0;$$ $$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x > 1;$$ $$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

в) $\operatorname{tg}^2 x < 9$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 < 9;$$ $$y^2 — 9 < 0;$$ $$(y + 3)(y — 3) < 0;$$ $$-3 < y < 3;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x > -3;$$ $$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$ $$-\operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x < 3;$$ $$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$

Ответ:

$$-\operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \operatorname{arctg} 3 + \pi n.$$

г) $\operatorname{tg}^2 x < 2 \operatorname{tg} x$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 < 2y;$$ $$y^2 — 2y < 0;$$ $$y(y — 2) < 0;$$ $$0 < y < 2;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x > 0;$$ $$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \pi n;$$ $$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x < 2;$$ $$x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$

Ответ:

$$\pi n < x < \operatorname{arctg} 2 + \pi n.$$

а) $\operatorname{tg}^2 x > 9$

1) Представление неравенства:

Пусть $y = \operatorname{tg} x$. Тогда неравенство превращается в:

$$y^2 > 9$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^2 — 9 > 0$$

Далее, это выражение можно разложить по формуле разности квадратов:

$$(y + 3)(y — 3) > 0$$

Теперь задача сводится к решению неравенства для произведения двух множителей.

2) Решение неравенства:

Неравенство $(y + 3)(y — 3) > 0$ выполнено, когда оба множителя либо положительные, либо оба отрицательные. Это дает два интервала:

• $y > 3$
• $y < -3$

То есть, $\operatorname{tg} x > 3$ или $\operatorname{tg} x < -3$.

3) Анализ первого интервала $\operatorname{tg} x < -3$:

Для первого интервала $\operatorname{tg} x < -3$, мы решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = -3$$

Для этого используем арктангенс:

$$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Теперь, учитывая периодичность тангенса ($\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x + \pi n)$), решение данного уравнения будет заключаться в интервале:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

4) Анализ второго интервала $\operatorname{tg} x > 3$:

Для второго интервала $\operatorname{tg} x > 3$, решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 3$$

Аналогично, используя арктангенс:

$$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Так как функция $\operatorname{tg} x$ периодична с периодом $\pi$, решение будет:

$$\operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

5) Ответ:

Таким образом, решение неравенства $\operatorname{tg}^2 x > 9$ можно выразить следующим образом:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < -\operatorname{arctg} 3 + \pi n; \quad \operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

б) $\operatorname{tg}^2 x > \operatorname{tg} x$

1) Преобразование неравенства:

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда неравенство принимает вид:

$$y^2 > y$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^2 — y > 0$$

Решаем это неравенство:

$$y(y — 1) > 0$$

Это произведение будет положительным, если $y < 0$ или $y > 1$.

2) Решение для $y < 0$:

Для первого случая $\operatorname{tg} x < 0$, решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 0$$

Так как $\operatorname{tg} x = 0$ при $x = \pi n$, получаем:

$$x = \pi n$$

Интервал для решения будет:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n$$

3) Решение для $y > 1$:

Для второго случая $\operatorname{tg} x > 1$, решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 1$$

Так как $\operatorname{tg} x = 1$ при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, получаем:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Интервал для решения будет:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

4) Ответ:

Таким образом, решение неравенства $\operatorname{tg}^2 x > \operatorname{tg} x$ можно выразить следующим образом:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

в) $\operatorname{tg}^2 x < 9$

1) Преобразование неравенства:

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда неравенство принимает вид:

$$y^2 < 9$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^2 — 9 < 0$$

Решаем это неравенство:

$$(y + 3)(y — 3) < 0$$

Это произведение будет отрицательным, если $-3 < y < 3$.

2) Решение для $\operatorname{tg} x > -3$:

Для первого случая $\operatorname{tg} x > -3$, решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = -3$$

Решение этого уравнения будет:

$$x = -\operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

Интервал для решения будет:

$$-\operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

3) Решение для $\operatorname{tg} x < 3$:

Для второго случая $\operatorname{tg} x < 3$, решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 3$$

Решение этого уравнения будет:

$$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

Интервал для решения будет:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

4) Ответ:

Таким образом, решение неравенства $\operatorname{tg}^2 x < 9$ можно выразить следующим образом:

$$-\operatorname{arctg} 3 + \pi n < x < \operatorname{arctg} 3 + \pi n$$

г) $\operatorname{tg}^2 x < 2 \operatorname{tg} x$

1) Преобразование неравенства:

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда неравенство принимает вид:

$$y^2 < 2y$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^2 — 2y < 0$$

Решаем это неравенство:

$$y(y — 2) < 0$$

Это произведение будет отрицательным, если $0 < y < 2$.

2) Решение для $\operatorname{tg} x > 0$:

Для первого случая $\operatorname{tg} x > 0$, решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 0$$

Решение этого уравнения будет:

$$x = \pi n$$

Интервал для решения будет:

$$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

3) Решение для $\operatorname{tg} x < 2$:

Для второго случая $\operatorname{tg} x < 2$, решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 2$$

Решение этого уравнения будет:

$$x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

Интервал для решения будет:

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leqslant \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

4) Ответ:

Таким образом, решение неравенства $\operatorname{tg}^2 x < 2 \operatorname{tg} x$ можно выразить следующим образом:

$$\pi n < x < \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$