ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin 2x < \frac{1}{2}$;

б) $3 \cos 4x < 1$;

в) $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $7 \sin \frac{x}{2} > -1$

а) $\sin 2x < \frac{1}{2}$;

Решения уравнения:

$$\sin 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Искомые точки:

$$x_1 = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot (-1)}{2} = -\frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{12};$$ $$x_2 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{12};$$

Ответ:

$$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n.$$

б) $3 \cos 4x < 1$;

$$\cos 4x < \frac{1}{3};$$

Решения уравнения:

$$\cos 4x = \frac{1}{3};$$ $$4x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2};$$

Искомые точки:

$$x_1 = \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3};$$ $$x_2 = -\frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2};$$

Ответ:

$$\frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}.$$

в) $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Решения уравнения:

$$\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$3x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3};$$

Искомые точки:

$$x_1 = -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = -\frac{\pi}{18};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{18};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}.$$

г) $7 \sin \frac{x}{2} > -1$;

$$\sin \frac{x}{2} > -\frac{1}{7};$$

Решения уравнения:

$$\sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{7};$$ $$\frac{x}{2} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n;$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{7} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$x_1 = (-1)^{0+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{7} + 2\pi \cdot 0 = -2 \arcsin \frac{1}{7};$$ $$x_2 = (-1)^{1+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{7} + 2\pi = 2\pi + 2 \arcsin \frac{1}{7};$$

Ответ:

$$-2 \arcsin \frac{1}{7} + 4\pi n < x < 2\pi + 2 \arcsin \frac{1}{7} + 4\pi n.$$

а) $\sin 2x < \frac{1}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$

Исходное уравнение:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}$$

Задача — найти все решения этого уравнения. Для этого вспомним, что $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ при $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $\alpha = \pi — \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ для $k \in \mathbb{Z}$, то есть:

$$2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi — \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$

Шаг 2: Преобразование выражений

Мы можем решить для $x$, разделив оба уравнения на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right) = \frac{\pi}{12} + k\pi$$

и

$$x = \frac{1}{2} \left( \pi — \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right) = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{12} + k\pi = \frac{5\pi}{12} + k\pi$$

Таким образом, все решения уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$ имеют вид:

$$x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi.$$

Шаг 3: Решение неравенства $\sin 2x < \frac{1}{2}$

Теперь решаем неравенство $\sin 2x < \frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\sin 2x = \frac{1}{2}$ при $2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Следовательно, $\sin 2x < \frac{1}{2}$ на интервалах между этими значениями.

Период синуса — $2\pi$, и на интервале $\left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right)$ синус меньше $\frac{1}{2}$. Таким образом, решение неравенства будет на интервалах:

$$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n.$$

Ответ:

$$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n.$$

б) $3 \cos 4x < 1$

Шаг 1: Решение уравнения $\cos 4x = \frac{1}{3}$

Исходное неравенство:

$$3 \cos 4x < 1 \quad \Rightarrow \quad \cos 4x < \frac{1}{3}$$

Решим уравнение $\cos 4x = \frac{1}{3}$. Мы знаем, что $\cos \alpha = \frac{1}{3}$ при $\alpha = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом:

$$4x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2k\pi.$$

Теперь делим обе стороны на 4:

$$x = \pm \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 2: Решение неравенства $\cos 4x < \frac{1}{3}$

Неравенство $\cos 4x < \frac{1}{3}$ выполняется на интервалах, когда $\cos 4x$ меньше $\frac{1}{3}$, то есть за пределами значений $\arccos \frac{1}{3}$ и $-\arccos \frac{1}{3}$. Получаем, что решение будет на следующих интервалах:

$$\frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{2} — \frac{1}{4} \arccos \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}.$$

в) $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Исходное неравенство:

$$\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решим уравнение $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $\alpha = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi$.

Таким образом:

$$3x = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi.$$

Теперь делим обе стороны на 3:

$$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Шаг 2: Решение неравенства $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Неравенство $\cos 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется на интервалах, когда $3x$ лежит между $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$, а затем повторяется с периодом $2\pi$. Это дает следующие решения:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}.$$

г) $7 \sin \frac{x}{2} > -1$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{7}$

Исходное неравенство:

$$7 \sin \frac{x}{2} > -1 \quad \Rightarrow \quad \sin \frac{x}{2} > -\frac{1}{7}.$$

Решим уравнение $\sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{7}$. Мы знаем, что $\sin \alpha = -\frac{1}{7}$ при:

$$\frac{x}{2} = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{7} + \pi n.$$

Умножив обе стороны на 2, получаем:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{7} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Решение неравенства $\sin \frac{x}{2} > -\frac{1}{7}$

Неравенство $\sin \frac{x}{2} > -\frac{1}{7}$ выполняется на интервалах, где синус больше, чем $-\frac{1}{7}$, что означает нахождение $x$ за пределами значений $-\arcsin \frac{1}{7}$ и $\arcsin \frac{1}{7}$. Получаем:

$$-2 \arcsin \frac{1}{7} + 4\pi n < x < 2\pi + 2 \arcsin \frac{1}{7} + 4\pi n.$$

Ответ:

$$-2 \arcsin \frac{1}{7} + 4\pi n < x < 2\pi + 2 \arcsin \frac{1}{7} + 4\pi n.$$