ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{3}$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) < \frac{\sqrt{2}}{2};$

в) $\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{4};$

г) $\sin (\frac{3\pi }{4}-x)<\frac{\sqrt{3}}{2}$$$

а) $\sin\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{3}$;

Решения уравнения:

$$2x — \frac{\pi}{3} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2};$$

Искомые точки:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} + (-1)^0 \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6} + (-1)^1 \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{3} — \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} — \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n.$$

б) $\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) < \frac{\sqrt{2}}{2};$

Решения уравнения:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Искомые точки:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2};$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = 2\pi;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n.$$

в) $\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{4};$

Решения уравнения:

$$3x — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n;$$ $$3x = \frac{\pi}{6} \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{18} \pm \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3};$$

Искомые точки:

$$x_1 = \frac{\pi}{18} — \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{18} — \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right);$$ $$x_2 = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right);$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{18} — \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3}.$$

г) $\sin\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) < \frac{\sqrt{3}}{2};$

Решения уравнения:

$$-\sin\left(x — \frac{3\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$\sin\left(x — \frac{3\pi}{4}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x — \frac{3\pi}{4} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{3\pi}{4} + (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Искомые точки:

$$x_1 = \frac{3\pi}{4} + (-1)^{0+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{12};$$ $$x_2 = \frac{3\pi}{4} + (-1)^{1+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{25\pi}{12};$$

Ответ:

$$\frac{5\pi}{12} + 2\pi n < x < \frac{25\pi}{12} + 2\pi n.$$

а) $\sin\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{3}$

1) Решения уравнения

Нам нужно решить неравенство $\sin\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) > \frac{1}{3}$. Для этого начнем с того, что решим соответствующее уравнение:

$$\sin\left(2x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3}$$

Решение этого уравнения осуществляется следующим образом:

• Известно, что синус имеет период $2\pi$, и его значения повторяются. Поэтому мы можем записать общее решение для $2x — \frac{\pi}{3}$, учитывая его периодичность:

  $$2x — \frac{\pi}{3} = \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x — \frac{\pi}{3} = \pi — \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

  где $n$ — целое число, а $\arcsin \left(\frac{1}{3}\right)$ — это арксинус числа $\frac{1}{3}$, значение которого можно вычислить.

• Из этих равенств получаем:

  $$2x = \frac{\pi}{3} + \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \frac{\pi}{3} + \pi — \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n$$

  После этого, чтобы найти $x$, нужно обе части уравнения поделить на 2:

  $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \left(\pi — \arcsin \left(\frac{1}{3}\right)\right) + \pi n$$

2) Искомые точки

Теперь найдем конкретные значения для двух первичных решений. Для этого подставим $n = 0$ (первый период) в каждое из уравнений:

• Для первого решения:

  $$x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \arcsin \left(\frac{1}{3}\right)$$

  Это и есть точка, при которой синус достигает $\frac{1}{3}$.

• Для второго решения:

  $$x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \left(\pi — \arcsin \left(\frac{1}{3}\right)\right)$$

  Эта точка также будет значением, при котором синус равен $\frac{1}{3}$.

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} — \frac{1}{2} \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) + \pi n.$$

б) $\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}$

1) Решения уравнения

Для начала решим неравенство $\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы найти значения, при которых косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, решим соответствующее уравнение:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4} — x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Решения для косинуса с этим значением можно записать как:

$$\frac{\pi}{4} — x = \pm \arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$$

где $\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, так как косинус $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, получаем:

$$\frac{\pi}{4} — x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Решаем для $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

2) Искомые точки

Теперь находим два значения $x$:

• Для $x_1$:

  $$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$$

• Для $x_2$:

  $$x_2 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} = 0.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n.$$

в) $\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{4}$

1) Решения уравнения

Теперь решим неравенство $\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) > -\frac{1}{4}$. Для начала решим соответствующее уравнение:

$$\cos\left(3x — \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{4}.$$

Решения для этого уравнения можно записать как:

$$3x — \frac{\pi}{6} = \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n.$$

Из этого получаем:

$$3x = \frac{\pi}{6} \pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi n.$$

Теперь делим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$$x = \frac{\pi}{18} \pm \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3}.$$

2) Искомые точки

Теперь находим два значения для $x$:

• Для первого:

  $$x_1 = \frac{\pi}{18} — \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right).$$

• Для второго:

  $$x_2 = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right).$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{18} — \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{18} + \frac{1}{3} \arccos \left(-\frac{1}{4}\right) + \frac{2\pi n}{3}.$$

г) $\sin\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

1) Решения уравнения

Теперь решим неравенство $\sin\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Для начала решим соответствующее уравнение:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{4} — x\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решение этого уравнения будет иметь вид:

$$\frac{3\pi}{4} — x = \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{3\pi}{4} — x = \pi — \arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n.$$

Так как $\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, мы получаем:

$$\frac{3\pi}{4} — x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{3\pi}{4} — x = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Решаем для $x$:

$$x = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} — \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n.$$

2) Искомые точки

Теперь найдем два значения для $x$:

• Для первого:

  $$x_1 = \frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{12}.$$

• Для второго:

  $$x_2 = \frac{3\pi}{4} — \frac{2\pi}{3} = \frac{25\pi}{12}.$$

Ответ:

$$\frac{5\pi}{12} + 2\pi n < x < \frac{25\pi}{12} + 2\pi n.$$