ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а)

$$\{\begin{array}{l}\sin x>-\frac{4}{5}\\ \cos x>-\frac{1}{3}\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}\sin x<\frac{2}{7}\\ \cos x<0.6\end{array}$$

а)

$$\begin{cases} \sin x > -\frac{4}{5}; \\ \cos x > -\frac{1}{3}; \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\sin x > -\frac{4}{5};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{4}{5} + \pi n;$$ $$-\arcsin \frac{4}{5} + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \frac{4}{5} + 2\pi n;$$

Второе неравенство:

$$\cos x > -\frac{1}{3};$$ $$x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n;$$ $$-\arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < x < \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\arcsin \frac{4}{5} + 2\pi n < x < \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n.$$

б)

$$\begin{cases} \sin x < \frac{2}{7}; \\ \cos x < 0.6; \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$\sin x < \frac{2}{7};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{7} + \pi n;$$ $$\pi — \arcsin \frac{2}{7} + 2\pi n < x < 2\pi + \arcsin \frac{2}{7} + 2\pi n;$$

Второе неравенство:

$$\cos x < 0.6;$$ $$x = \pm \arccos 0.6 + 2\pi n;$$ $$\arccos 0.6 + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos 0.6 + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pi — \arcsin \frac{2}{7} + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos 0.6 + 2\pi n.$$

а) Необходимо решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \sin x > -\frac{4}{5}, \\ \cos x > -\frac{1}{3}. \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство:

$$\sin x > -\frac{4}{5}.$$

Для решения этого неравенства нам нужно найти, для каких значений $x$ функция $\sin x$ больше $-\frac{4}{5}$.

Находим решение $\sin x = -\frac{4}{5}$. Для этого используем арксинус:

$$x = \arcsin \left(-\frac{4}{5}\right).$$

Поскольку синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, то основное решение будет находиться в интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, но периодичность позволяет добавить сдвиг на $2\pi n$ для всех возможных значений $x$.

Основное решение:

$$x = \arcsin \left(-\frac{4}{5}\right).$$

Мы знаем, что $\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right) \approx -0.927$.

Это значение соответствует углу, на котором $\sin x = -\frac{4}{5}$. Тогда наше решение для $\sin x > -\frac{4}{5}$ будет находиться в интервале между $-\arcsin \left(\frac{4}{5}\right)$ и $\pi + \arcsin \left(\frac{4}{5}\right)$, где $\arcsin \left(\frac{4}{5}\right) \approx 0.927$. Для этого записываем:

$$-\arcsin \left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n.$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство:

$$\cos x > -\frac{1}{3}.$$

Для решения этого неравенства аналогично находим, где $\cos x = -\frac{1}{3}$.

Используем арккосинус для нахождения угла:

$$x = \arccos \left(-\frac{1}{3}\right).$$

Находим значение:

$$\arccos \left(-\frac{1}{3}\right) \approx 1.9106.$$

Косинус — это функция с периодом $2\pi$, и ее значения повторяются каждые $2\pi$. Таким образом, основное решение будет в интервале от $-\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$ до $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$, и можем добавить периодичность $2\pi n$.

Интервал для решения $\cos x > -\frac{1}{3}$:

$$-\arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < x < \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n.$$

Шаг 3: Пересечение решений двух неравенств

Теперь нужно найти пересечение двух полученных интервалов. Для этого возьмем:

Первый интервал для $\sin x > -\frac{4}{5}$:

$$-\arcsin \left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n.$$

Второй интервал для $\cos x > -\frac{1}{3}$:

$$-\arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n < x < \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n.$$

Пересечение этих интервалов даст окончательное решение для $x$. Таким образом, ответ для части а будет:

$$-\arcsin \left(\frac{4}{5}\right) + 2\pi n < x < \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi n.$$

б) Необходимо решить систему неравенств:

$$\begin{cases} \sin x < \frac{2}{7}, \\ \cos x < 0.6. \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого неравенства

Первое неравенство:

$$\sin x < \frac{2}{7}.$$

Для решения этого неравенства находим, где $\sin x = \frac{2}{7}$.

Используем арксинус:

$$x = \arcsin \left(\frac{2}{7}\right).$$

Рассчитываем:

$$\arcsin \left(\frac{2}{7}\right) \approx 0.291.$$

С учетом периодичности синуса, решение будет в интервале от $\pi — \arcsin \left(\frac{2}{7}\right)$ до $2\pi + \arcsin \left(\frac{2}{7}\right)$. Таким образом, решение для $\sin x < \frac{2}{7}$:

$$\pi — \arcsin \left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n < x < 2\pi + \arcsin \left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n.$$

Шаг 2: Решение второго неравенства

Второе неравенство:

$$\cos x < 0.6.$$

Для решения этого неравенства находим, где $\cos x = 0.6$.

Используем арккосинус:

$$x = \arccos (0.6).$$

Рассчитываем:

$$\arccos (0.6) \approx 0.927.$$

Косинус имеет период $2\pi$, и решение будет в интервале от $\arccos (0.6)$ до $2\pi — \arccos (0.6)$. Таким образом, решение для $\cos x < 0.6$:

$$\arccos (0.6) + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos (0.6) + 2\pi n.$$

Шаг 3: Пересечение решений двух неравенств

Теперь находим пересечение двух интервалов.

Первый интервал для $\sin x < \frac{2}{7}$:

$$\pi — \arcsin \left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n < x < 2\pi + \arcsin \left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n.$$

Второй интервал для $\cos x < 0.6$:

$$\arccos (0.6) + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos (0.6) + 2\pi n.$$

Пересечение этих интервалов даст окончательное решение для $x$. Таким образом, ответ для части б будет:

$$\pi -\arcsin \left(\frac{2}{7}\right)+2\pi n<x<2\pi -\arccos (0.6)+2\pi n\mathrm{.}$$