ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а)$$\{\begin{array}{l}\sin 2x<\frac{1}{2}\\ 25-x^2\ge 0\end{array}$$

б)$$\{\begin{array}{l}\cos (3x+\frac{\pi }{4})<\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }<3\end{array}$$

а)

$$\begin{cases} \sin 2x < \frac{1}{2} \\ 25 — x^2 \geq 0 \end{cases}$$

1) Первое неравенство:

$$\sin 2x < \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$ $$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n;$$

2) Второе неравенство:

$$25 — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 — 25 \leq 0;$$ $$(x + 5)(x — 5) \leq 0;$$ $$-5 \leq x \leq 5;$$

Ответ:

$$-\frac{19\pi }{12}<x<-\frac{11\pi }{12};-\frac{7\pi }{12}<x<\frac{\pi }{12};$$

$$-\frac{19\pi}{12} < x < -\frac{11\pi}{12}; \quad -\frac{7\pi}{12} < x < \frac{\pi}{12}; \quad \frac{5\pi}{12} < x \leq \frac{13\pi}{12}; \quad \frac{17\pi}{12} < x \leq 5.$$

б)

$$\begin{cases} \cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ |x + 2| < 3 \end{cases}$$

1) Первое неравенство:

$$\cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$3x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi n}{3};$$ $$x_2 = \frac{1}{3} \left( -\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$ $$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3};$$

2) Второе неравенство:

$$|x + 2| < 3;$$ $$(x + 2)^2 < 3^2;$$ $$x^2 + 4x + 4 < 9;$$ $$x^2 + 4x — 5 < 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1;$$ $$(x + 5)(x — 1) < 0;$$ $$-5 < x < 1;$$

Ответ:

$$-5<x<-\frac{3\pi }{2};-\frac{4\pi }{3}<x<-\frac{5\pi }{6};$$

$$-5 < x < -\frac{3\pi}{2}; \quad -\frac{4\pi}{3} < x < -\frac{5\pi}{6}; \quad -\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{6}; \quad 0 < x < 1.$$

а) Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} \sin 2x < \frac{1}{2} \\ 25 — x^2 \geq 0 \end{cases}$$

1) Первое неравенство:

Необходимо решить неравенство:

$$\sin 2x < \frac{1}{2}$$

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем такие значения $x$, при которых $\sin 2x = \frac{1}{2}$.

Решение уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Теперь определим, в каких интервалах функция $\sin 2x$ будет меньше $\frac{1}{2}$. Поскольку $\sin 2x = \frac{1}{2}$ на значениях $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, необходимо найти промежутки, где $\sin 2x$ меньше $\frac{1}{2}$. Учитывая периодичность синуса, решение неравенства будет иметь вид:

$$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n$$

Это решение будет выполняться для всех целых $n$.

2) Второе неравенство:

Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$25 — x^2 \geq 0$$

Перепишем его:

$$x^2 — 25 \leq 0$$ $$(x + 5)(x — 5) \leq 0$$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Корни выражения $(x + 5)(x — 5) = 0$ — это $x = -5$ и $x = 5$. Знак произведения меняется в точках $x = -5$ и $x = 5$, так что на промежутке $-5 \leq x \leq 5$ неравенство выполняется.

Ответ для второго неравенства:

$$-5 \leq x \leq 5$$

3) Объединение решений:

Теперь нужно объединить решения первого и второго неравенства. Первое неравенство дает интервалы:

$$-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n$$

Второе неравенство ограничивает $x$ интервалом $-5 \leq x \leq 5$.

Рассмотрим, какие из интервалов $-\frac{7\pi}{12} + \pi n < x < \frac{\pi}{12} + \pi n$ пересекаются с интервалом $-5 \leq x \leq 5$. Получаем следующие интервалы:

$$-\frac{19\pi}{12} < x < -\frac{11\pi}{12}; \quad -\frac{7\pi}{12} < x < \frac{\pi}{12}; \quad \frac{5\pi}{12} < x \leq \frac{13\pi}{12}; \quad \frac{17\pi}{12} < x \leq 5$$

Ответ:

$$-\frac{19\pi }{12}<x<-\frac{11\pi }{12};-\frac{7\pi }{12}<x<\frac{\pi }{12};$$

$$-\frac{19\pi}{12} < x < -\frac{11\pi}{12}; \quad -\frac{7\pi}{12} < x < \frac{\pi}{12}; \quad \frac{5\pi}{12} < x \leq \frac{13\pi}{12}; \quad \frac{17\pi}{12} < x \leq 5$$

б) Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} \cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ |x + 2| < 3 \end{cases}$$

1) Первое неравенство:

Необходимо решить неравенство:

$$\cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ встречается при углах $\pm \frac{\pi}{4}$. Рассмотрим уравнение:

$$3x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Решим для $x$:

$3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$$3x = 2\pi n$$ $$x_1 = \frac{2\pi n}{3}$$

$3x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$$3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Неравенство $\cos \left( 3x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется на интервалах:

$$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$$

2) Второе неравенство:

Теперь решим второе неравенство:

$$|x + 2| < 3$$

Решение данного неравенства:

$$-3 < x + 2 < 3$$ $$-5 < x < 1$$

3) Объединение решений:

Теперь нужно объединить решения первого и второго неравенства. Первое неравенство дает интервалы:

$$\frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$$

Второе неравенство ограничивает $x$ интервалом $-5 < x < 1$.

Рассмотрим пересечения:

Для $n = -1$:

$$-5 < x < -\frac{3\pi}{2}$$

Для $n = -1$:

$$-\frac{4\pi}{3} < x < -\frac{5\pi}{6}$$

Для $n = 0$:

$$-\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{6}$$

Для $n = 0$:

$$0 < x < 1$$

Ответ:

$$-5<x<-\frac{3\pi }{2};-\frac{4\pi }{3}<x<-\frac{5\pi }{6};$$

$$-5 < x < -\frac{3\pi}{2}; \quad -\frac{4\pi}{3} < x < -\frac{5\pi}{6}; \quad -\frac{2\pi}{3} < x < -\frac{\pi}{6}; \quad 0 < x < 1.$$