ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }\cdot \sin x=x+3$;

б) $2\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }\cdot \cos x=x-6$

а) $\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }\cdot \sin x=x+3$;

Одно из решений:

$$x+3=0;$$$$x=-3;$$

Если $x<-3$, тогда:

$$-(x+3)\cdot \sin x=x+3;$$$$\sin x=-1;$$$$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

Если $x>-3$, тогда:

$$(x+3)\cdot \sin x=x+3;$$$$\sin x=1;$$$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n;$$

Ответ: $-3;\frac{\pi }{2}+2\pi n(n=0;1;2;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.});-\frac{\pi }{2}+2\pi n(n=-1;-2;-3;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})$.

б) $2\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }\cdot \cos x=x-6$;

Одно из решений:

$$x-6=0;$$$$x=6;$$

Если $x<6$, тогда:

$$-2(x-6)\cdot \cos x=x-6;$$$$\cos x=-\frac{1}{2};$$$$x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n;$$$$x=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n;$$

Если $x>6$, тогда:

$$2(x-6)\cdot \cos x=x-6;$$$$\cos x=\frac{1}{2};$$$$x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n;$$

Ответ: $6;\frac{4\pi }{3};\frac{7\pi }{3};\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n(n=2;3;4;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.});\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n(n=0;-1;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})\mathrm{.}$

а) $\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }\cdot \sin x=x+3$

Для того чтобы решить данное уравнение, будем рассматривать три случая в зависимости от значения $x$, потому что выражение $\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }$ зависит от того, больше ли $x+3$ нуля или меньше.

Шаг 1. Преобразование уравнения:

Исходное уравнение:

$$\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }\cdot \sin x=x+3.$$

Чтобы избавиться от модуля, нужно рассматривать два случая.

Случай 1: $x+3\ge 0$, то есть $x\ge -3$

В этом случае $\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }=x+3$, и уравнение принимает вид:

$$(x+3)\cdot \sin x=x+3.$$

Теперь разделим обе части на $x+3$ (при $x\mathrm{\ne }-3$):

$$\sin x=1.$$

Шаг 2. Решение уравнения $\sin x=1$:

Решение для $\sin x=1$ — это значения $x$, при которых синус достигает максимума. Это происходит при:

$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Таким образом, для $x\ge -3$ решение будет:

$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Случай 2: $x+3<0$, то есть $x<-3$

В этом случае $\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }=-(x+3)$, и уравнение принимает вид:

$$-(x+3)\cdot \sin x=x+3.$$

Теперь разделим обе части на $-(x+3)$ (при $x\mathrm{\ne }-3$):

$$\sin x=-1.$$

Шаг 3. Решение уравнения $\sin x=-1$:

Решение для $\sin x=-1$ — это значения $x$, при которых синус достигает минимума. Это происходит при:

$$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Таким образом, для $x<-3$ решение будет:

$$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Случай 3: $x=-3$

При $x=-3$, исходное уравнение превращается в:

$$\mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }\cdot \sin x=x+3\Rightarrow 0\cdot \sin (-3)=0.$$

Это равенство истинно, следовательно, $x=-3$ является решением.

Ответ для пункта а):

$$x=-3,x=\frac{\pi }{2}+2\pi n(n=0;1;2;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}),$$

$$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n(n=-1;-2;-3;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})\mathrm{.}$$

б) $2\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }\cdot \cos x=x-6$

Для решения этого уравнения будем аналогично рассматривать два случая в зависимости от значения $x-6$.

Шаг 1. Преобразование уравнения:

Исходное уравнение:

$$2\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }\cdot \cos x=x-6.$$

Случай 1: $x-6\ge 0$, то есть $x\ge 6$

В этом случае $\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }=x-6$, и уравнение принимает вид:

$$2(x-6)\cdot \cos x=x-6.$$

Теперь разделим обе части на $x-6$ (при $x\mathrm{\ne }6$):

$$2\cos x=1.$$

Шаг 2. Решение уравнения $2\cos x=1$:

Решение для $2\cos x=1$ будет:

$$\cos x=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Решения для $\cos x=\frac{1}{2}$ — это значения $x$, при которых косинус равен $\frac{1}{2}$. Эти значения:

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Так как $x\ge 6$, то решения будут:

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi n\text{и}x=\frac{4\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$

Из этого получаем, что для $x\ge 6$ решения:

$$x=\frac{4\pi }{3},x=\frac{7\pi }{3},n=2,3,4,\dots \mathrm{.}$$

Случай 2: $x-6<0$, то есть $x<6$

В этом случае $\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }=-(x-6)$, и уравнение принимает вид:

$$-2(x-6)\cdot \cos x=x-6.$$

Теперь разделим обе части на $-(x-6)$ (при $x\mathrm{\ne }6$):

$$2\cos x=-1.$$

Шаг 3. Решение уравнения $2\cos x=-1$:

Решение для $2\cos x=-1$ будет:

$$\cos x=-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Решения для $\cos x=-\frac{1}{2}$ — это значения $x$, при которых косинус равен $-\frac{1}{2}$. Эти значения:

$$x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{2})+2\pi n=\pm (\pi -\frac{\pi }{3})+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Так как $x<6$, то решения будут:

$$x=-\frac{2\pi }{3},x=\frac{2\pi }{3},n=0,-1,-2,\dots \mathrm{.}$$

Случай 3: $x=6$

При $x=6$, исходное уравнение превращается в:

$$2\mathrm{\mid }x-6\mathrm{\mid }\cdot \cos 6=x-6\Rightarrow 0=0.$$

Это равенство истинно, следовательно, $x=6$ является решением.

Ответ для пункта б):

$$x=6,x=\frac{4\pi }{3},x=\frac{7\pi }{3},\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n(n=2;3;4;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}),$$

$$\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n(n=0;-1;-2;\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})\mathrm{.}$$