ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

а) $y = \frac{\sin x}{2 \cos x — 1}$;

б) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\pi — 3 \cos x}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sin x}$;

г) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{x — 5}}$

Найти область определения функции:

а) $y = \frac{\sin x}{2 \cos x — 1}$;

Выражение имеет смысл при:

$$2 \cos x — 1 \neq 0;$$ $$2 \cos x \neq 1;$$ $$\cos x \neq \frac{1}{2};$$ $$x \neq \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $x \neq \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\pi — 3 \cos x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\pi — 3 \cos x \neq 0;$$ $$3 \cos x \neq \pi;$$ $$\cos x \neq \frac{\pi}{3} > 1 \quad \text{при любом } x;$$

Ответ: $x \neq \pi n$.

в) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sin x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n;$$

Ответ: $x > 0; \, x \neq \pi n$.

г) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{x — 5}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 5 > 0;$$ $$x > 5;$$

Ответ: $x > 5; \, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.

а) $y = \frac{\sin x}{2 \cos x — 1}$

Для нахождения области определения функции нужно определить, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Для этого важно, чтобы знаменатель не был равен нулю, а также чтобы другие математические операции (например, деление) не приводили к неопределённости.

Шаг 1. Условие для знаменателя

Функция определена, если знаменатель не равен нулю. У нас знаменатель — это $2 \cos x — 1$. Нужно решить неравенство:

$$2 \cos x — 1 \neq 0.$$

Решаем:

$$2 \cos x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x \neq \frac{1}{2}.$$

Теперь нужно найти те значения $x$, при которых $\cos x = \frac{1}{2}$.

Шаг 2. Найдём значения $x$, при которых $\cos x = \frac{1}{2}$

Известно, что $\cos x = \frac{1}{2}$ при:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n.$$

Значение $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, функция будет неопределена при $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, так как в этих точках знаменатель будет равен нулю.

Шаг 3. Вывод

Функция $y = \frac{\sin x}{2 \cos x — 1}$ определена при всех значениях $x$, за исключением тех, которые приводят к $\cos x = \frac{1}{2}$, а именно:

$$x \neq \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x \neq \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

б) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\pi — 3 \cos x}$

Здесь также нужно найти область определения функции, исключая значения $x$, при которых функция неопределена (например, если синус равен нулю для котангенса или если знаменатель равен нулю).

Шаг 1. Условие для $\operatorname{ctg} x$

Функция $\operatorname{ctg} x$ определяется только тогда, когда $\sin x \neq 0$. Поэтому первое условие:

$$\sin x \neq 0.$$

Решаем $\sin x = 0$:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, функция неопределена при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2. Условие для знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель $\pi — 3 \cos x$. Выражение будет неопределено, если знаменатель равен нулю:

$$\pi — 3 \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 \cos x = \pi \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{\pi}{3}.$$

Однако $\cos x = \frac{\pi}{3}$ невозможно, так как максимальное значение косинуса равно 1, а $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$. Таким образом, условие $\cos x = \frac{\pi}{3}$ невозможно при любом $x$, и оно не накладывает дополнительных ограничений.

Шаг 3. Вывод

Таким образом, область определения функции $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\pi — 3 \cos x}$ ограничена только тем, что $\sin x \neq 0$, то есть:

$$x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x \neq \pi n$.

в) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sin x}$

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы числитель и знаменатель удовлетворяли ограничениям.

Шаг 1. Условие для числителя

Числитель функции — это $\sqrt{x}$. Квадратный корень существует только для неотрицательных чисел, то есть:

$$x \geq 0.$$

Шаг 2. Условие для знаменателя

Знаменатель — это $\sin x$. Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю, то есть:

$$\sin x \neq 0.$$

Решаем $\sin x = 0$:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, функция будет неопределена при $x = \pi n$.

Шаг 3. Вывод

Область определения функции будет:

$$x \geq 0, \quad x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x > 0; \, x \neq \pi n$.

г) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{x — 5}}$

Для нахождения области определения функции нужно учесть условия для числителя и знаменателя.

Шаг 1. Условие для числителя

Числитель функции — это $\operatorname{tg} x$. Функция тангенса определена, если $\cos x \neq 0$. То есть:

$$\cos x \neq 0.$$

Решаем $\cos x = 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, функция будет неопределена при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Шаг 2. Условие для знаменателя

Знаменатель — это $\sqrt{x — 5}$. Для того чтобы квадратный корень был определён, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$$x — 5 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 5.$$

Шаг 3. Вывод

Область определения функции $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{x — 5}}$ будет:

$$x > 5, \quad x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x > 5; \, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.