ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $|\sin x| = |\cos x|$;

б) $\sqrt{3} \cot x = 2 |\cos x|$;

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$;

г) $\sqrt{2} \tan x \neq 2 |\sin x| = 0$

а) $|\sin x| = |\cos x|$;

$$|\sin x| = |\cos x|$$ $$\frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac{|\cos x|}{|\cos x|}$$ $$|\tan x| = 1$$ $$\tan x = \pm 1$$ $$x = \pm \arctg 1 + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\sqrt{3} \cot x = 2 |\cos x|$;

$$\sqrt{3} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} — 2 |\cos x| = 0$$ $$\sqrt{3} \cos x — 2 \sin x \cdot |\cos x| = 0$$

Одно из решений:

$$\cos x = 0$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$\sqrt{3} \cos x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0$$ $$\cos x \cdot (\sqrt{3} + 2 \sin x) = 0$$ $$\sqrt{3} + 2 \sin x = 0$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$x_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_1 > 0)$$ $$x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_2 < 0)$$ $$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\sqrt{3} \cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0$$ $$\cos x \cdot (\sqrt{3} — 2 \sin x) = 0$$ $$\sqrt{3} — 2 \sin x = 0$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$x_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_1 > 0)$$ $$x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_2 < 0)$$ $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$; $\frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$;

$$|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$$ $$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \frac{|\sqrt{3} \cos 2x|}{|\cos 2x|}$$ $$|\tan 2x| = \sqrt{3}$$ $$\tan 2x = \pm \sqrt{3}$$ $$2x = \pm \arctg \sqrt{3} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

г) $\sqrt{2} \tan x \neq 2 |\sin x| = 0$;

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 2 |\sin x| = 0$$ $$\sqrt{2} \sin x + 2 \cos x \cdot |\sin x| = 0$$

Одно из решений:

$$\sin x = 0$$ $$x = \pi n$$

Если $\sin x < 0$, тогда:

$$\sqrt{2} \sin x — 2 \cos x \cdot \sin x = 0$$ $$\sin x \cdot (\sqrt{2} — 2 \cos x) = 0$$ $$\sqrt{2} — 2 \cos x = 0$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_1 < 0)$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_2 > 0)$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$$

Если $\sin x > 0$, тогда:

$$\sqrt{2} \sin x + 2 \cos x \cdot \sin x = 0$$ $$\sin x \cdot (\sqrt{2} + 2 \cos x) = 0$$ $$\sqrt{2} + 2 \cos x = 0$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ $$x_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_1 < 0)$$ $$x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_2 > 0)$$ $$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$$

Ответ: $\pi n$; $\frac{3\pi}{4} + \pi n$.

а) $|\sin x| = |\cos x|$

Мы начнем с того, что уравнение $|\sin x| = |\cos x|$ можно переписать в виде:

$$\frac{|\sin x|}{|\cos x|} = 1.$$

Теперь, так как $\frac{|\sin x|}{|\cos x|}$ — это абсолютное значение тангенса, получаем:

$$|\tan x| = 1.$$

Это означает, что тангенс $x$ может быть равен 1 или -1. То есть:

$$\tan x = \pm 1.$$

Шаг 1. Решаем $\tan x = 1$ и $\tan x = -1$:

• Когда $\tan x = 1$, решение будет:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Когда $\tan x = -1$, решение будет:

$$x = \arctg (-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, общее решение для $|\tan x| = 1$ имеет вид:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\sqrt{3} \cot x = 2 |\cos x|$

Начнем с того, что выражение $\sqrt{3} \cot x = 2 |\cos x|$ можно преобразовать следующим образом. Напишем $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, получим:

$$\sqrt{3} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = 2 |\cos x|.$$

Шаг 1. Умножим обе части на $\sin x$:

$$\sqrt{3} \cos x = 2 \sin x \cdot |\cos x|.$$

Теперь рассмотрим три возможных случая: $\cos x = 0$, $\cos x < 0$, $\cos x > 0$.

1) Если $\cos x = 0$:

Тогда у нас получается, что:

$$\sqrt{3} \cdot 0 = 2 \sin x \cdot 0,$$

что всегда верно. Следовательно, $\cos x = 0$ даёт решение. Решение для $\cos x = 0$ имеет вид:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) Если $\cos x < 0$:

Когда $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Подставим это в уравнение:

$$\sqrt{3} \cos x + 2 \sin x \cdot \cos x = 0,$$

и выделим общий множитель $\cos x$:

$$\cos x \cdot (\sqrt{3} + 2 \sin x) = 0.$$

Поскольку $\cos x \neq 0$ (по предположению), мы получаем, что:

$$\sqrt{3} + 2 \sin x = 0,$$

или

$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Рассмотрим возможные решения:

• $x_1 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_1 > 0)$.
• $x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_2 < 0)$.

Таким образом, $x_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.

3) Если $\cos x > 0$:

Когда $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Подставим это в уравнение:

$$\sqrt{3} \cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0,$$

и выделим общий множитель $\cos x$:

$$\cos x \cdot (\sqrt{3} — 2 \sin x) = 0.$$

Поскольку $\cos x \neq 0$, мы получаем:

$$\sqrt{3} — 2 \sin x = 0,$$

или

$$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ достигается при:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Рассмотрим возможные решения:

• $x_1 = (-1)^{2k} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_1 > 0)$.
• $x_2 = (-1)^{2k+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad (\cos x_2 < 0)$.

Таким образом, $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Ответ для пункта б): $\frac{\pi}{2} + \pi n$; $\frac{\pi}{3} + \pi n$.

в) $|\sin 2x| = |\sqrt{3} \cos 2x|$

Шаг 1. Разделим обе части уравнения на $|\cos 2x|$:

$$\frac{|\sin 2x|}{|\cos 2x|} = \frac{|\sqrt{3} \cos 2x|}{|\cos 2x|}.$$

Получаем:

$$|\tan 2x| = \sqrt{3}.$$

Это означает, что:

$$\tan 2x = \pm \sqrt{3}.$$

Шаг 2. Решаем $\tan 2x = \sqrt{3}$ и $\tan 2x = -\sqrt{3}$:

• Когда $\tan 2x = \sqrt{3}$, решение будет:

$$2x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Когда $\tan 2x = -\sqrt{3}$, решение будет:

$$2x = \arctg (-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3. Разделим обе части на 2, чтобы получить $x$:

$$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ для пункта в): $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

г) $\sqrt{2} \tan x \neq 2 |\sin x| = 0$

Шаг 1. Запишем уравнение:

$$\sqrt{2} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + 2 |\sin x| = 0.$$

Преобразуем его:

$$\sqrt{2} \sin x + 2 \cos x \cdot |\sin x| = 0.$$

Шаг 2. Рассмотрим три случая: $\sin x = 0$, $\sin x < 0$, $\sin x > 0$.

1) Если $\sin x = 0$:

$$\sqrt{2} \cdot 0 + 2 \cos x \cdot 0 = 0,$$

что всегда верно. Следовательно, $\sin x = 0$ даёт решение. Решение для $\sin x = 0$ имеет вид:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) Если $\sin x < 0$:

$$\sqrt{2} \sin x — 2 \cos x \cdot \sin x = 0,$$ $$\sin x \cdot (\sqrt{2} — 2 \cos x) = 0.$$

Поскольку $\sin x \neq 0$ (по предположению), получаем:

$$\sqrt{2} — 2 \cos x = 0,$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается при:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, решения:

• $x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_1 < 0)$.
• $x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_2 > 0)$.

Решение для $\sin x < 0$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k.$$

3) Если $\sin x > 0$:

$$\sqrt{2} \sin x + 2 \cos x \cdot \sin x = 0,$$ $$\sin x \cdot (\sqrt{2} + 2 \cos x) = 0.$$

Получаем:

$$\sqrt{2} + 2 \cos x = 0,$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается при:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, решения:

• $x_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_1 < 0)$.
• $x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad (\sin x_2 > 0)$.

Решение для $\sin x > 0$:

$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k.$$

Ответ для пункта г): $x = \pi n$; $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.