ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) $(2x-3)\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=\sin x$

б) $(3x-7)\cdot \cos x=5\mathrm{\mid }\cos x\mathrm{\mid }$

a) $(2x — 3)|\sin x| = \sin x$

Одно из решений:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Если $\sin x > 0$, тогда:

$$(2x — 3) \cdot \sin x = \sin x;$$ $$2x — 3 = 1;$$ $$2x = 4;$$ $$x = 2 \quad (\sin 2 > 0);$$

Если $\sin x < 0$, тогда:

$$(2x — 3)(-\sin x) = \sin x;$$ $$2x — 3 = -1;$$ $$2x = 2;$$ $$x = 1 \quad (\sin 1 > 0);$$

Ответ: $x = \pi n; 2$.

б) $(3x — 7) \cdot \cos x = 5|\cos x|$

Одно из решений:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$(3x — 7) \cdot \cos x = 5 \cos x;$$ $$3x — 7 = 5;$$ $$3x = 12;$$ $$x = 4 \quad (\cos 4 < 0);$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$(3x — 7) \cdot \cos x = -5 \cos x;$$ $$3x — 7 = -5;$$ $$3x = 2;$$ $$x = \frac{2}{3} \quad \left(\cos \frac{2}{3} > 0\right);$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

а) $(2x — 3)|\sin x| = \sin x$

Для того чтобы решить это уравнение, рассмотрим три возможных случая для $\sin x$: $\sin x = 0$, $\sin x > 0$, и $\sin x < 0$.

Шаг 1. Рассмотрим случай $\sin x = 0$:

Если $\sin x = 0$, то уравнение $(2x — 3)|\sin x| = \sin x$ становится:

$$(2x — 3) \cdot 0 = 0.$$

Это верно для любых $x$, удовлетворяющих условию $\sin x = 0$. А именно, $\sin x = 0$ при:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, одно из решений: $x = \pi n$.

Шаг 2. Рассмотрим случай $\sin x > 0$:

Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$, и уравнение $(2x — 3)|\sin x| = \sin x$ превращается в:

$$(2x — 3) \cdot \sin x = \sin x.$$

Разделим обе части на $\sin x$ (при $\sin x \neq 0$):

$$2x — 3 = 1.$$

Решаем это уравнение:

$$2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$

Так как в этом случае $\sin 2 > 0$, то $x = 2$ является решением.

Шаг 3. Рассмотрим случай $\sin x < 0$:

Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$, и уравнение $(2x — 3)|\sin x| = \sin x$ превращается в:

$$(2x — 3)(-\sin x) = \sin x.$$

Разделим обе части на $-\sin x$ (при $\sin x \neq 0$):

$$2x — 3 = -1.$$

Решаем это уравнение:

$$2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1.$$

Так как в этом случае $\sin 1 > 0$, это противоречит предположению, что $\sin x < 0$. Следовательно, $x = 1$ не является решением.

Ответ: $x = \pi n; 2$.

б) $(3x — 7) \cdot \cos x = 5|\cos x|$

Для решения этого уравнения также будем рассматривать несколько случаев для $\cos x$: $\cos x = 0$, $\cos x > 0$, и $\cos x < 0$.

Шаг 1. Рассмотрим случай $\cos x = 0$:

Если $\cos x = 0$, то уравнение $(3x — 7) \cdot \cos x = 5|\cos x|$ становится:

$$(3x — 7) \cdot 0 = 5 \cdot 0,$$

что всегда верно.

Решение для $\cos x = 0$ имеет вид:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 2. Рассмотрим случай $\cos x > 0$:

Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и уравнение $(3x — 7) \cdot \cos x = 5 \cdot \cos x$ превращается в:

$$(3x — 7) \cdot \cos x = 5 \cdot \cos x.$$

Разделим обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$3x — 7 = 5.$$

Решаем это уравнение:

$$3x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 4.$$

Однако, $\cos 4 < 0$, что противоречит предположению, что $\cos x > 0$. Следовательно, $x = 4$ не является решением.

Шаг 3. Рассмотрим случай $\cos x < 0$:

Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и уравнение $(3x — 7) \cdot \cos x = 5|\cos x|$ превращается в:

$$(3x — 7) \cdot \cos x = -5 \cos x.$$

Разделим обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$3x — 7 = -5.$$

Решаем это уравнение:

$$3x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{3}.$$

Так как $\cos \frac{2}{3} > 0$, это противоречит предположению, что $\cos x < 0$. Следовательно, $x = \frac{2}{3}$ не является решением.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.