ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^2\cdot \mathrm{\mid }\mathrm{tg}x\mathrm{\mid }+9\mathrm{tg}x=0$

б) $x^2\cdot \mathrm{ctg}x-4\mathrm{\mid }\mathrm{ctg}x\mathrm{\mid }=0$

а) Решить уравнение:

$x^2 \cdot |\operatorname{tg} x| + 9 \operatorname{tg} x = 0$

Одно из решений:

$$\operatorname{tg} x = 0$$ $$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n$$

Если $\operatorname{tg} x > 0$, тогда:

$$x^2 \cdot \operatorname{tg} x + 9 \operatorname{tg} x = 0$$ $$\operatorname{tg} x \cdot (x^2 + 9) = 0$$ $$x^2 + 9 = 0$$ $$x^2 = -9 \quad \text{(нет корней)}$$

Если $\operatorname{tg} x < 0$, тогда:

$$x^2 \cdot (-\operatorname{tg} x) + 9 \operatorname{tg} x = 0$$ $$\operatorname{tg} x \cdot (9 — x^2) = 0$$ $$9 — x^2 = 0$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3 \quad (\operatorname{tg} 3 < 0, \operatorname{tg}(-3) > 0)$$

Ответ: $\pi n; 3$.

б) Решить уравнение:

$x^2 \cdot \operatorname{ctg} x — 4|\operatorname{ctg} x| = 0$

Одно из решений:

$$\operatorname{ctg} x = 0$$ $$x = \operatorname{arcctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Если $\operatorname{ctg} x > 0$, тогда:

$$x^2 \cdot \operatorname{ctg} x — 4 \operatorname{ctg} x = 0$$ $$\operatorname{ctg} x \cdot (x^2 — 4) = 0$$ $$x^2 — 4 = 0$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2 \quad (\operatorname{ctg} 2 < 0, \operatorname{ctg}(-2) > 0)$$

Если $\operatorname{ctg} x < 0$, тогда:

$$x^2 \cdot \operatorname{ctg} x + 4 \operatorname{ctg} x = 0$$ $$\operatorname{ctg} x \cdot (x^2 + 4) = 0$$ $$x^2 + 4 = 0$$ $$x^2 = -4 \quad \text{(нет корней)}$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; -2$.

а) $x^2 \cdot |\operatorname{tg} x| + 9 \operatorname{tg} x = 0$

Это уравнение состоит из двух членов, связанных с тангенсом. Рассмотрим все возможные случаи для $\operatorname{tg} x$ (положительный, отрицательный и нулевой).

Шаг 1. Условие для $\operatorname{tg} x = 0$:

Если $\operatorname{tg} x = 0$, то уравнение становится:

$$x^2 \cdot 0 + 9 \cdot 0 = 0,$$

что всегда верно.

Значение $\operatorname{tg} x = 0$ достигается, когда:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, одно из решений: $x = \pi n$.

Шаг 2. Условие для $\operatorname{tg} x > 0$:

Если $\operatorname{tg} x > 0$, то $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и уравнение становится:

$$x^2 \cdot \operatorname{tg} x + 9 \operatorname{tg} x = 0.$$

Вынесем $\operatorname{tg} x$ за скобки:

$$\operatorname{tg} x \cdot (x^2 + 9) = 0.$$

Так как $\operatorname{tg} x > 0$, то выражение $\operatorname{tg} x = 0$ не имеет смысла, следовательно, остается:

$$x^2 + 9 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = -9 \quad \Rightarrow \quad \text{нет решений},$$

так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, в случае $\operatorname{tg} x > 0$ решений нет.

Шаг 3. Условие для $\operatorname{tg} x < 0$:

Если $\operatorname{tg} x < 0$, то $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и уравнение становится:

$$x^2 \cdot (-\operatorname{tg} x) + 9 \operatorname{tg} x = 0.$$

Вынесем $\operatorname{tg} x$ за скобки:

$$\operatorname{tg} x \cdot (9 — x^2) = 0.$$

Так как $\operatorname{tg} x < 0$, то $\operatorname{tg} x = 0$ не подходит, остаётся:

$$9 — x^2 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3.$$

Теперь проверим, какие из решений подходят для $\operatorname{tg} x < 0$:

• Для $x = 3$, $\operatorname{tg} 3 > 0$, так что это решение не подходит.
• Для $x = -3$, $\operatorname{tg} (-3) < 0$, это решение подходит.

Таким образом, решение для $\operatorname{tg} x < 0$ — это $x = -3$.

Ответ для пункта а): $x = \pi n; 3$.

б) $x^2 \cdot \operatorname{ctg} x — 4|\operatorname{ctg} x| = 0$

Рассмотрим это уравнение, где $\operatorname{ctg} x$ — это котангенс. Мы будем рассматривать три случая: $\operatorname{ctg} x = 0$, $\operatorname{ctg} x > 0$, и $\operatorname{ctg} x < 0$.

Шаг 1. Условие для $\operatorname{ctg} x = 0$:

Если $\operatorname{ctg} x = 0$, то уравнение становится:

$$x^2 \cdot 0 — 4 \cdot 0 = 0,$$

что всегда верно.

Значение $\operatorname{ctg} x = 0$ достигается, когда:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, одно из решений: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Шаг 2. Условие для $\operatorname{ctg} x > 0$:

Если $\operatorname{ctg} x > 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и уравнение становится:

$$x^2 \cdot \operatorname{ctg} x — 4 \operatorname{ctg} x = 0.$$

Вынесем $\operatorname{ctg} x$ за скобки:

$$\operatorname{ctg} x \cdot (x^2 — 4) = 0.$$

Так как $\operatorname{ctg} x > 0$, то $\operatorname{ctg} x = 0$ не имеет смысла, остаётся:

$$x^2 — 4 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2.$$

Теперь проверим, какие из решений подходят для $\operatorname{ctg} x > 0$:

• Для $x = 2$, $\operatorname{ctg} 2 < 0$, это решение не подходит.
• Для $x = -2$, $\operatorname{ctg} (-2) > 0$, это решение подходит.

Таким образом, решение для $\operatorname{ctg} x > 0$ — это $x = -2$.

Шаг 3. Условие для $\operatorname{ctg} x < 0$:

Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и уравнение становится:

$$x^2 \cdot \operatorname{ctg} x + 4 \operatorname{ctg} x = 0.$$

Вынесем $\operatorname{ctg} x$ за скобки:

$$\operatorname{ctg} x \cdot (x^2 + 4) = 0.$$

Так как $\operatorname{ctg} x < 0$, то $\operatorname{ctg} x = 0$ не имеет смысла, остаётся:

$$x^2 + 4 = 0.$$

Решение этого уравнения невозможно, так как $x^2 \geq 0$ для всех $x$, а $4 > 0$.

Таким образом, для $\operatorname{ctg} x < 0$ решений нет.

Ответ для пункта б): $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; -2$.