ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.59 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение:

а) $$\sin (3x-\frac{\pi }{4})\cdot \sqrt{8x-x^2-7}=0$$

б) $$\cos (2x+\frac{\pi }{3})\cdot \sqrt{10-x^2-3x}=0$$

а) Уравнение:

$$\sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sqrt{8x — x^2 — 7} = 0$$

Первое уравнение:

$$\sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = 0$$ $$3x — \frac{\pi}{4} = \pi n$$ $$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{8x — x^2 — 7} = 0$$ $$x^2 — 8x + 7 = 0$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36$$ $$x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$$

Выражение имеет смысл при:

$$8x — x^2 — 7 \geq 0$$ $$x^2 — 8x + 7 \leq 0$$ $$(x — 1)(x — 7) \leq 0$$ $$1 \leq x \leq 7$$

Все решения уравнения:

$$1; \frac{5\pi}{12}; \frac{3\pi}{4}; \frac{13\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}; \frac{7\pi}{4}; \frac{25\pi}{12}; 7$$

Ответ: $8$

б) Уравнение:

$$\cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \sqrt{10 — x^2 — 3x} = 0$$

Первое уравнение:

$$\cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$$ $$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{10 — x^2 — 3x} = 0$$ $$x^2 + 3x — 10 = 0$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$10 — x^2 — 3x \geq 0$$ $$x^2 + 3x — 10 \leq 0$$ $$(x + 5)(x — 2) \leq 0$$ $$-5 \leq x \leq 2$$

Все решения уравнения:

$$-5; -\frac{17\pi}{12}; -\frac{11\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}; \frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}; 2$$

Ответ: $7$

а) Уравнение:

$$\sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sqrt{8x — x^2 — 7} = 0$$

Мы имеем произведение двух выражений, при этом произведение равно нулю, если хотя бы одно из множителей равно нулю. Таким образом, мы будем рассматривать два уравнения:

$$\sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{8x — x^2 — 7} = 0.$$

Шаг 1. Решение первого уравнения: $\sin \left(3x — \frac{\pi}{4}\right) = 0$

Решение для $\sin \theta = 0$ дается, когда аргумент $\theta$ является целым кратным $\pi$. То есть:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Теперь решим это относительно $x$:

$$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}.$$

Таким образом, одно из решений:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 2. Решение второго уравнения: $\sqrt{8x — x^2 — 7} = 0$

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от квадратного корня:

$$8x — x^2 — 7 = 0.$$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$$x^2 — 8x + 7 = 0.$$

Теперь находим дискриминант $D$:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 6}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7.$$

Таким образом, возможные решения для $x$: $x = 1$ и $x = 7$.

Шаг 3. Выражение имеет смысл при: $8x — x^2 — 7 \geq 0$

Рассмотрим, при каких значениях $x$ выражение $\sqrt{8x — x^2 — 7}$ имеет смысл. Для этого требуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$8x — x^2 — 7 \geq 0.$$

Приводим его к стандартному виду:

$$x^2 — 8x + 7 \leq 0.$$

Решаем это неравенство. Для этого сначала находим корни уравнения $x^2 — 8x + 7 = 0$ (что мы уже сделали):

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 7.$$

Теперь рисуем график функции $y = x^2 — 8x + 7$. Это парабола, открывающаяся вверх, и она пересекает ось $x$ в точках $x = 1$ и $x = 7$. Таким образом, неравенство $x^2 — 8x + 7 \leq 0$ выполняется для:

$$1 \leq x \leq 7.$$

Шаг 4. Все решения уравнения

Теперь мы должны объединить решения из Шага 1 и Шага 2, учитывая, что $x$ должно лежать в интервале $1 \leq x \leq 7$. Рассмотрим:

• Из Шага 1: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Решения для $x$ из этого выражения будут такими, что $x$ должно попадать в интервал $[1, 7]$.

  Проверим, для каких значений $n$ это условие выполняется:

  • Для $n = 0$: $x = \frac{\pi}{12} \approx 0.2618$, что меньше 1, значит, не подходит.
  • Для $n = 1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{12} \approx 1.309$, что лежит в пределах интервала.
  • Для $n = 2$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356$, что тоже подходит.
  • Для $n = 3$: $x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \approx 3.403$, что тоже подходит.
  • Для $n = 4$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = \frac{17\pi}{12} \approx 4.440$, что подходит.
  • Для $n = 5$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{3} = \frac{21\pi}{12} = \frac{7\pi}{4} \approx 5.497$, что подходит.
  • Для $n = 6$: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12} \approx 6.544$, что подходит.

  Таким образом, подходящие значения для $x$ из первого уравнения: $\frac{5\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{7\pi}{4}, \frac{25\pi}{12}$.

• Из Шага 2: $x = 1$ и $x = 7$, оба этих значения удовлетворяют интервалу $1 \leq x \leq 7$.

Ответ для пункта а: 8 $$\boxed{1;$$$$\frac{5\pi}{12}; \frac{3\pi}{4}; \frac{13\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}; \frac{7\pi}{4}; \frac{25\pi}{12}; 7}$$

б) Уравнение:

$$\cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \sqrt{10 — x^2 — 3x} = 0$$

Так же, как и в предыдущем случае, для этого уравнения произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, рассматриваем два уравнения:

$$\cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{10 — x^2 — 3x} = 0.$$

Шаг 1. Решение первого уравнения: $\cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$

Решение для $\cos \theta = 0$ дается, когда $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. То есть:

$$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Решим это относительно $x$:

$$2x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

Таким образом, решения для $x$:

$$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 2. Решение второго уравнения: $\sqrt{10 — x^2 — 3x} = 0$

Избавляемся от квадратного корня:

$$10 — x^2 — 3x = 0$$ $$x^2 + 3x — 10 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2.$$

Шаг 3. Выражение имеет смысл при: $10 — x^2 — 3x \geq 0$

Рассматриваем, при каких значениях $x$ выражение $\sqrt{10 — x^2 — 3x}$ имеет смысл. Для этого требуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$10 — x^2 — 3x \geq 0$$ $$x^2 + 3x — 10 \leq 0.$$

Решаем это неравенство. Для этого сначала находим корни уравнения $x^2 + 3x — 10 = 0$:

$$x_1 = -5, \quad x_2 = 2.$$

График функции $y = x^2 + 3x — 10$ — это парабола, открывающаяся вверх, и она пересекает ось $x$ в точках $x = -5$ и $x = 2$. Таким образом, неравенство $x^2 + 3x — 10 \leq 0$ выполняется для:

$$-5 \leq x \leq 2.$$

Шаг 4. Все решения уравнения

Теперь мы должны объединить решения из Шага 1 и Шага 2, учитывая, что $x$ должно лежать в интервале $-5 \leq x \leq 2$. Рассмотрим:

• Из Шага 1: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Решения для $x$ из этого выражения будут такими, что $x$ должно попадать в интервал $[-5, 2]$.

  Проверим, для каких значений $n$ это условие выполняется:

  • Для $n = -3$: $x = \frac{\pi}{12} — \frac{3\pi}{2} = -\frac{17\pi}{12} \approx -4.44$, что лежит в пределах интервала.
  • Для $n = -2$: $x = \frac{\pi}{12} — \pi = -\frac{11\pi}{12} \approx -2.89$, что тоже лежит в пределах интервала.
  • Для $n = -1$: $x = \frac{\pi}{12} — \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{12} \approx -0.81$, что тоже подходит.
  • Для $n = 0$: $x = \frac{\pi}{12} \approx 0.261$, что подходит.
  • Для $n = 1$: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{12} \approx 1.83$, что тоже подходит.
  • Для $n = 2$: $x = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12} \approx 3.4$, что больше 2, поэтому не подходит.

  Таким образом, подходящие значения для $x$ из первого уравнения: $-\frac{17\pi}{12}, -\frac{11\pi}{12}, -\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$.

• Из Шага 2: $x = -5$ и $x = 2$, оба этих значения удовлетворяют интервалу $-5 \leq x \leq 2$.

Ответ для пункта б: 7$$\boxed{-5; -\frac{17\pi}{12}; -\frac{11\pi}{12}; -\frac{5\pi}{12}; \frac{\pi}{12}; \frac{7\pi}{12}; 2}$$