ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin x = 1$;

г) $\sin x = \frac{1}{2}$

а) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $\sin x = 1$;

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

г) $\sin x = \frac{1}{2}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения

Мы знаем, что синус принимает значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{2\pi}{3}$ на интервале $[0; 2\pi]$. То есть, для первого решения:

$$x = \frac{\pi}{3}.$$

Для второго решения, учитывая периодичность синуса:

$$x = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Функция синуса имеет период $2\pi$, и на интервале $[0; 2\pi]$ мы получаем два решения. Но так как синус является нечетной функцией, для любого угла $x$, где $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, общее решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n.$$

Поскольку $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, подставляем:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n$ — целое число.

б) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения

Мы знаем, что синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$ на интервале $[0; 2\pi]$. То есть, для первого решения:

$$x = \frac{\pi}{4}.$$

Для второго решения:

$$x = \pi — \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

С учетом того, что синус имеет период $2\pi$, можно записать общее решение для всех углов, где $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, как:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n.$$

Так как $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, подставляем:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.

в) $\sin x = 1$

Шаг 1: Решение уравнения

Известно, что синус равен 1 при угле $x = \frac{\pi}{2}$, так как:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Синус имеет период $2\pi$, и его значение 1 достигается только при $x = \frac{\pi}{2}$ на интервале $[0; 2\pi]$. Для всех значений $x$, где $\sin x = 1$, решение будет:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

г) $\sin x = \frac{1}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения

Мы знаем, что синус равен $\frac{1}{2}$ при углах $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$ на интервале $[0; 2\pi]$. То есть, для первого решения:

$$x = \frac{\pi}{6}.$$

Для второго решения:

$$x = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 2: Обобщение решения

Функция синуса имеет период $2\pi$, и для всех углов, где $\sin x = \frac{1}{2}$, общее решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n.$$

Так как $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, подставляем:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Итоговые ответы:

а) $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$

б) $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$

в) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

г) $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$