ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.60 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y=\sqrt{\sin x}+\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$

б) $y=\sqrt{\cos x-\frac{1}{2}+\mathrm{ctg}2x}$

в) $y=\mathrm{tg}2x-\frac{1}{\sqrt{1-2\sin x}}$

г) $y=\frac{1}{\sin 4x}-\sqrt{\cos x-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Найти область определения функции:

а) $y = \sqrt{\sin x} + \frac{1}{\sqrt{\cos x}}$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \geq 0;$$ $$x = \pi n;$$ $$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x > 0;$$ $$x = \pm \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$2\pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $y = \sqrt{\cos x — \frac{1}{2} + \operatorname{ctg} 2x}$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x — \frac{1}{2} \geq 0;$$ $$\cos x \geq \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin 2x \neq 0;$$ $$2x \neq \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$2\pi n < x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $y = \operatorname{tg} 2x — \frac{1}{\sqrt{1 — 2\sin x}}$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 2x \neq 0;$$ $$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — 2\sin x > 0;$$ $$2\sin x < 1;$$ $$\sin x < \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

г) $y = \frac{1}{\sin 4x} — \sqrt{\cos x — \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin 4x \neq 0;$$ $$4x \neq \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x — \frac{1}{\sqrt{2}} \geq 0;$$ $$\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi n;$$ $$2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

а) $y = \sqrt{\sin x} + \frac{1}{\sqrt{\cos x}}$

Рассмотрим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл.

1. Первое ограничение для $\sqrt{\sin x}$

Чтобы функция $\sqrt{\sin x}$ имела смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$\sin x \geq 0.$$

Решения для $\sin x \geq 0$ получаются, если $x$ лежит на интервале, где синус неотрицателен. Синус $x$ равен нулю в точках $x = \pi n$, и он положителен на интервале между этими точками. Таким образом:

$$x \in [0, \pi] + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Или, выражая это через неравенство:

$$2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n.$$

2. Второе ограничение для $\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$

Чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$ имело смысл, необходимо, чтобы $\cos x > 0$, поскольку в знаменателе стоит квадратный корень, а также он не должен быть равен нулю:

$$\cos x > 0.$$

Решения для $\cos x > 0$ — это интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$, повторяющийся с периодом $2\pi$. То есть:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. Объединение ограничений

Теперь объединим два ограничения: $\sin x \geq 0$ и $\cos x > 0$. Мы ищем пересечение интервалов:

• $2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n$ — из $\sin x \geq 0$
• $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ — из $\cos x > 0$

Пересечение этих двух интервалов для каждого $n$ дает:

$$2\pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта а):

$$2\pi n \leq x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б) $y = \sqrt{\cos x — \frac{1}{2} + \operatorname{ctg} 2x}$

Теперь рассмотрим область определения для функции:

$$y = \sqrt{\cos x — \frac{1}{2} + \operatorname{ctg} 2x}.$$

1. Первое ограничение для $\sqrt{\cos x — \frac{1}{2} + \operatorname{ctg} 2x}$

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо:

$$\cos x — \frac{1}{2} + \operatorname{ctg} 2x \geq 0.$$

Из этого уравнения можно выделить два подвыражения:

$\cos x — \frac{1}{2} \geq 0$, что означает:

$$\cos x \geq \frac{1}{2}.$$

Решения для $\cos x \geq \frac{1}{2}$ находятся, используя известное, что $\cos x$ равен $\frac{1}{2}$ в точках $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Таким образом, $\cos x \geq \frac{1}{2}$ на интервале:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Для $\operatorname{ctg} 2x$ мы знаем, что котангенс определен, если $2x \neq \pi n$, то есть:

$$x \neq \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Объединение условий

Теперь объединим эти два ограничения. Первое условие $\cos x \geq \frac{1}{2}$ ограничивает $x$ интервалом $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, а второе условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ исключает точку $x = \frac{\pi n}{2}$ из этих интервалов.

Таким образом, область определения:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x \neq \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ для пункта б):

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$2\pi n < x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

в) $y = \operatorname{tg} 2x — \frac{1}{\sqrt{1 — 2\sin x}}$

Теперь рассмотрим область определения для функции:

$$y = \operatorname{tg} 2x — \frac{1}{\sqrt{1 — 2\sin x}}.$$

1. Первое ограничение для $\operatorname{tg} 2x$

Тангенс $\operatorname{tg} 2x$ не определен, когда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, что эквивалентно:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

То есть, для функции $\operatorname{tg} 2x$ исключаем точки $x = \frac{\pi n}{4}$.

2. Второе ограничение для $\frac{1}{\sqrt{1 — 2\sin x}}$

Для того чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{1 — 2\sin x}}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$$1 — 2\sin x > 0,$$

что приводит к неравенству:

$$\sin x < \frac{1}{2}.$$

Решения для $\sin x < \frac{1}{2}$ соответствуют интервалам:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

3. Объединение ограничений

Теперь объединим два ограничения:

• $x \neq \frac{\pi n}{4}$, то есть исключаем точки $x = \frac{\pi n}{4}$ из интервала, на котором $\sin x < \frac{1}{2}$.

Таким образом, область определения для $y = \operatorname{tg} 2x — \frac{1}{\sqrt{1 — 2\sin x}}$ — это:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта в):

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

г) $y = \frac{1}{\sin 4x} — \sqrt{\cos x — \frac{1}{\sqrt{2}}}$

1. Первое ограничение для $\frac{1}{\sin 4x}$

Тангенс не определен, когда $\sin 4x = 0$, то есть:

$$4x = \pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi n}{4}.$$

2. Второе ограничение для $\sqrt{\cos x — \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо:

$$\cos x — \frac{1}{\sqrt{2}} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Решения для $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ — это интервал $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$.

3. Объединение ограничений

Теперь объединим оба условия:

• $x \neq \frac{\pi n}{4}$ для исключения точек, где $\sin 4x = 0$.

Таким образом, область определения для $y = \frac{1}{\sin 4x} — \sqrt{\cos x — \frac{1}{\sqrt{2}}}$:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi n;$$ $$2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта г):

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi n;$$ $$2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$