ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.61 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$

б) $y=\arccos (2x-1)+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$

а) $y=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$

Выражение имеет смысл при:

$$-1\le \frac{x}{2}\le 1$$$$-2\le x\le 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x+\frac{1}{2}\ge 0$$$$\sin x\ge -\frac{1}{2}$$$$x=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$$$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{6}+2\pi n$$

Ответ: $-\frac{\pi }{6}\le x\le 2$

б) $y=\arccos (2x-1)+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$

Выражение имеет смысл при:

$$-1\le 2x-1\le 1$$$$0\le 2x\le 2$$$$0\le x\le 1$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x\ge 0$$$$\cos x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$$$$x=\pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$$$$\frac{\pi }{4}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{4}+2\pi n$$

Ответ: $\frac{\pi }{4}\le x\le 1$

а) Уравнение:

$$y=\arcsin \frac{x}{2}+\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$$

Чтобы найти область определения этой функции, нам нужно рассмотреть два отдельных выражения: $\arcsin \frac{x}{2}$ и $\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$.

Шаг 1. Рассмотрим выражение $\arcsin \frac{x}{2}$:

Арксинус $\arcsin y$ определен только при $-1\le y\le 1$. В данном случае $y=\frac{x}{2}$, поэтому для того чтобы $\arcsin \frac{x}{2}$ имел смысл, должно быть выполнено следующее условие:

$$-1\le \frac{x}{2}\le 1.$$

Умножим неравенство на 2:

$$-2\le x\le 2.$$

Таким образом, $\arcsin \frac{x}{2}$ имеет смысл, когда $x$ лежит в интервале $[-2,2]$.

Шаг 2. Рассмотрим выражение $\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$:

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы:

$$\sin x+\frac{1}{2}\ge 0.$$

Это условие можно переписать как:

$$\sin x\ge -\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Теперь находим, при каких значениях $x$ выполняется это неравенство. Синус функции $\sin x$ принимает значение $-\frac{1}{2}$ в точках $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$.

Таким образом, $\sin x\ge -\frac{1}{2}$ на интервале между этими точками:

$$-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{6}+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 3. Объединение ограничений:

Теперь нужно объединить два условия:

1. $-2\le x\le 2$ — для $\arcsin \frac{x}{2}$,
2. $-\frac{\pi }{6}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{6}+2\pi n$ — для $\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$.

Нам нужно найти пересечение этих интервалов. Рассмотрим $n=0$, так как $x$ должно быть в пределах $[-2,2]$. Мы получаем:

• Для $n=0$, интервал для $\arcsin \frac{x}{2}$: $-2\le x\le 2$.
• Для $n=0$, интервал для $\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$: $-\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{7\pi }{6}\approx 3.665$.

Пересечение этих интервалов:

$$-2\le x\le 2.$$

Ответ для пункта а:

$$-\frac{\pi }{6}\le x\le 2.$$

б) Уравнение:

$$y=\arccos (2x-1)+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$$

Для нахождения области определения этой функции, нужно рассмотреть два выражения: $\arccos (2x-1)$ и $\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$.

Шаг 1. Рассмотрим выражение $\arccos (2x-1)$:

Арккосинус $\arccos y$ определен для $-1\le y\le 1$. В данном случае $y=2x-1$, поэтому для того чтобы $\arccos (2x-1)$ имел смысл, должно быть выполнено следующее условие:

$$-1\le 2x-1\le 1.$$

Решим это неравенство:

$$0\le 2x\le 2,$$$$0\le x\le 1.$$

Таким образом, $\arccos (2x-1)$ имеет смысл, когда $x$ лежит в интервале $[0,1]$.

Шаг 2. Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$:

Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x\ge 0.$$

Это условие можно переписать как:

$$\cos x\le \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$

Теперь находим, при каких значениях $x$ выполняется это неравенство. Косинус функции $\cos x$ принимает значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$. Таким образом, $\cos x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале:

$$\frac{\pi }{4}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}$$

Шаг 3. Объединение ограничений:

Теперь нужно объединить два условия:

1. $0\le x\le 1$ — для $\arccos (2x-1)$,
2. $\frac{\pi }{4}+2\pi n\le x\le \frac{7\pi }{4}+2\pi n$ — для $\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$.

Нам нужно найти пересечение этих интервалов. Рассмотрим $n=0$, так как $x$ должно быть в пределах $[0,1]$. Мы получаем:

• Для $n=0$, интервал для $\arccos (2x-1)$: $0\le x\le 1$.
• Для $n=0$, интервал для $\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$: $\frac{\pi }{4}\approx 0.785\le x\le \frac{7\pi }{4}\approx 5.498$.

Пересечение этих интервалов:

$$\frac{\pi }{4}\le x\le 1.$$

Ответ для пункта б:

$$\frac{\pi }{4}\le x\le 1.$$