ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.62 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}3x=0$

б) ${\cos }^{4}2x+1={\cos }^2(x-\frac{\pi }{4})$

а) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 0$

Первое уравнение:

$$\sin^2 x = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin^2 3x = 0;$$ $$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $x = \pi n$.

б) $\cos^4 2x + 1 = \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$

Первое уравнение:

$$\cos^4 2x = 0;$$ $$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1;$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \pm 1;$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

а) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 0$

Наша цель — решить уравнение $\sin^2 x + \sin^2 3x = 0$. Разберемся по частям.

Первое уравнение:

Изначально у нас $\sin^2 x = 0$. Чтобы решить это, возьмем квадратный корень с обеих сторон:

$$\sin x = 0.$$

Теперь решим $\sin x = 0$. Синус равен нулю в точках:

$$x = \pi n,$$

где $n$ — целое число. Это решение мы получаем, так как синус равен нулю в каждом целочисленном кратном числа $\pi$. Таким образом, решения для первого уравнения:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Второе уравнение:

Теперь рассмотрим уравнение $\sin^2 3x = 0$. Поступим аналогично:

$$\sin 3x = 0.$$

Синус равен нулю в точках:

$$3x = \pi m,$$

где $m$ — целое число. Делим обе стороны на 3:

$$x = \frac{\pi m}{3},$$

где $m$ — целое число. Таким образом, решения для второго уравнения:

$$x = \frac{\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}.$$

Общее решение: Нам нужно найти такие значения $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим уравнениям. Из первого уравнения получаем, что $x = \pi n$, из второго — $x = \frac{\pi m}{3}$. То есть, $x$ должно быть одновременно кратным как $\pi$, так и $\frac{\pi}{3}$.

Очевидно, что для того, чтобы оба условия выполнялись, $x$ должно быть кратным наименьшему общему кратному чисел $\pi$ и $\frac{\pi}{3}$, а именно $\pi$. Таким образом, общее решение:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

б) $\cos^4 2x + 1 = \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$

Теперь разберем второе уравнение:

$$\cos^4 2x + 1 = \cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right).$$

Первое уравнение:

Рассмотрим выражение $\cos^4 2x + 1$. Перепишем его, выделив квадраты:

$$\cos^4 2x = 0.$$

Преобразуем:

$$\cos 2x = 0.$$

Теперь решим уравнение $\cos 2x = 0$. Косинус равен нулю в точках:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

где $n$ — целое число. Делим обе стороны на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Таким образом, решения для первого уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Второе уравнение:

Теперь рассмотрим уравнение $\cos^2 \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1$. Для этого, чтобы решить, нужно найти, когда косинус квадрат этой величины равен 1. Так как $\cos^2 \theta = 1$ означает, что $\cos \theta = \pm 1$, имеем:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \pm 1.$$

Это дает два случая:

• $\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1$,
• $\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -1$.

Первый случай: Если $\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = 1$, то:

$$x — \frac{\pi}{4} = 2\pi n.$$

Добавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Второй случай: Если $\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -1$, то:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n.$$

Добавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, решения для второго уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Общее решение: Для того, чтобы найти общее решение, нам нужно объединить решения первого и второго уравнений. Из первого уравнения получаем:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Из второго уравнения решения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ также могут быть представлены в виде:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, общее решение для второго уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.