ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.63 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin 4x + \cos 2x = 2$;

б) $\sin 5x + \cos 3x = -2$

а) $\sin 4x + \cos 2x = 2$;

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 1;$$ $$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x = 1;$$ $$2x = 2\pi n;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ: корней нет.

б) $\sin 5x + \cos 3x = -2$;

Первое уравнение:

$$\sin 5x = -1;$$ $$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\cos 3x = -1;$$ $$3x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3};$$

Ответ: корней нет.

Задача а) $\sin 4x + \cos 2x = 2$

Нам нужно решить уравнение $\sin 4x + \cos 2x = 2$. Для начала, давайте рассмотрим возможные значения для $\sin 4x$ и $\cos 2x$.

Шаг 1: Исследуем максимальные значения для $\sin 4x$ и $\cos 2x$

• $\sin 4x$ может принимать значения от $-1$ до $1$.
• $\cos 2x$ также может принимать значения от $-1$ до $1$.

Таким образом, сумма $\sin 4x + \cos 2x$ не может быть больше $2$, так как максимальные значения для каждой из функций — $1$. Однако мы имеем:

$$\sin 4x + \cos 2x = 2$$

Сумма этих функций равна $2$, что возможно только в случае, если $\sin 4x = 1$ и $\cos 2x = 1$.

Шаг 2: Решим первое уравнение $\sin 4x = 1$

Для того чтобы $\sin 4x = 1$, нам нужно найти все значения $x$, при которых синус функции достигает 1. Синус равен 1, когда аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Тогда получаем:

$$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Разделим обе части на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 3: Решим второе уравнение $\cos 2x = 1$

Теперь рассмотрим второе уравнение $\cos 2x = 1$. Косинус функции равен 1, когда аргумент равен $2\pi m$, где $m$ — целое число. Получаем:

$$2x = 2\pi m$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \pi m$$

Шаг 4: Находим общие решения

Теперь у нас есть два решения:

• $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$
• $x = \pi m$

Нам нужно найти, существуют ли такие значения $n$ и $m$, которые одновременно удовлетворяют этим двум уравнениям.

Из первого уравнения $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, а из второго $x = \pi m$. Если эти два выражения равны, то:

$$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \pi m$$

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дробей:

$$\pi + 4\pi n = 8\pi m$$

Теперь разделим обе части на $\pi$:

$$1 + 4n = 8m$$

Это уравнение не имеет целых решений, так как левая часть $1 + 4n$ не делится на 8 для целых $n$. Следовательно, решений для $x$ нет.

Ответ для части а: корней нет.

Задача б) $\sin 5x + \cos 3x = -2$

Рассмотрим следующее уравнение: $\sin 5x + \cos 3x = -2$.

Шаг 1: Исследуем максимальные значения для $\sin 5x$ и $\cos 3x$

• $\sin 5x$ может принимать значения от $-1$ до $1$.
• $\cos 3x$ также может принимать значения от $-1$ до $1$.

Сумма этих функций не может быть меньше $-2$, так как минимальные значения для каждой из функций — $-1$. Однако мы имеем:

$$\sin 5x + \cos 3x = -2$$

Сумма этих функций равна $-2$, что возможно только в случае, если $\sin 5x = -1$ и $\cos 3x = -1$.

Шаг 2: Решим первое уравнение $\sin 5x = -1$

Для того чтобы $\sin 5x = -1$, нам нужно найти все значения $x$, при которых синус функции достигает $-1$. Синус равен $-1$ в точках:

$$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Теперь разделим обе части на 5:

$$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

Шаг 3: Решим второе уравнение $\cos 3x = -1$

Теперь рассмотрим второе уравнение $\cos 3x = -1$. Косинус равен $-1$, когда аргумент равен $\pi + 2\pi m$, где $m$ — целое число. Получаем:

$$3x = \pi + 2\pi m$$

Теперь разделим обе части на 3:

$$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3}$$

Шаг 4: Находим общие решения

Теперь у нас есть два решения:

• $x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$
• $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3}$

Нам нужно найти, существуют ли такие значения $n$ и $m$, которые одновременно удовлетворяют этим двум уравнениям.

Пусть:

$$-\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi m}{3}$$

Умножим обе части на 30, чтобы избавиться от дробей:

$$-3\pi + 12\pi n = 10\pi + 20\pi m$$

Теперь разделим обе части на $\pi$:

$$-3 + 12n = 10 + 20m$$

Это уравнение не имеет целых решений, так как левая часть не может быть равна правой при целых $n$ и $m$. Следовательно, решений для $x$ нет.

Ответ для части б: корней нет.