ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.64 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ множество корней заданного уравнения не пусто:

а) $\sin x = 2a — 1$;

б) $\cos x = 2a^2 — 5a + 1$;

в) $\cos x = 3a — 2$;

г) $\sin x = a^2 — 3$

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет решения:

а) $\sin x = 2a — 1$;

Уравнение имеет решения при:

$$-1 \leq 2a — 1 \leq 1;$$ $$0 \leq 2a \leq 2;$$ $$0 \leq a \leq 1;$$

Ответ: $a \in [0; 1]$.

б) $\cos x = 2a^2 — 5a + 1$;

Уравнение имеет решения при:

$$2a^2 — 5a + 1 \geq -1;$$ $$2a^2 — 5a + 2 \geq 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9;$$

тогда:

$$a_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$ $$(a — 0,5)(a — 2) \geq 0;$$ $$a \leq 0,5 \quad \text{и} \quad a \geq 2;$$

Уравнение имеет решения при:

$$2a^2 — 5a + 1 \leq 1;$$ $$2a^2 — 5a \leq 0;$$ $$a(2a — 5) \leq 0;$$ $$0 \leq a \leq 2,5;$$

Ответ: $a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$.

в) $\cos x = 3a — 2$;

Уравнение имеет решения при:

$$-1 \leq 3a — 2 \leq 1;$$ $$1 \leq 3a \leq 3;$$ $$\frac{1}{3} \leq a \leq 1;$$

Ответ: $a \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$.

г) $\sin x = a^2 — 3$;

Уравнение имеет решения при:

$$a^2 — 3 \geq -1;$$ $$a^2 — 2 \geq 0;$$ $$(a + \sqrt{2})(a — \sqrt{2}) \geq 0;$$ $$a \leq -\sqrt{2} \quad \text{и} \quad a \geq \sqrt{2};$$

Уравнение имеет решения при:

$$a^2 — 3 \leq 1;$$ $$a^2 — 4 \leq 0;$$ $$(a + 2)(a — 2) \leq 0;$$ $$-2 \leq a \leq 2;$$

Ответ: $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

а) $\sin x = 2a — 1$

Для того чтобы уравнение $\sin x = 2a — 1$ имело решения, необходимо, чтобы правая часть уравнения, то есть $2a — 1$, попадала в диапазон значений функции синуса, который равен $[-1; 1]$. То есть:

$$-1 \leq 2a — 1 \leq 1$$

Шаг 1: Решаем неравенство

1.1. Для левой части неравенства $-1 \leq 2a — 1$:

$$-1 \leq 2a — 1 \quad \text{(добавим 1 к обеим частям неравенства)}$$ $$0 \leq 2a \quad \text{(делим обе части на 2)}$$ $$0 \leq a$$

1.2. Для правой части неравенства $2a — 1 \leq 1$:

$$2a — 1 \leq 1 \quad \text{(добавим 1 к обеим частям неравенства)}$$ $$2a \leq 2 \quad \text{(делим обе части на 2)}$$ $$a \leq 1$$

Шаг 2: Составляем итоговое неравенство

Соединим результаты двух неравенств:

$$0 \leq a \leq 1$$

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in [0; 1]$.

б) $\cos x = 2a^2 — 5a + 1$

Здесь нужно решить два неравенства для выражения $2a^2 — 5a + 1$, так как $\cos x$ также лежит в пределах $[-1; 1]$.

Шаг 1: Неравенство $2a^2 — 5a + 1 \geq -1$

$$2a^2 — 5a + 1 \geq -1 \quad \text{(добавим 1 к обеим частям)}$$ $$2a^2 — 5a + 2 \geq 0$$

Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого сначала находим его дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Корни уравнения $2a^2 — 5a + 2 = 0$ находим по формуле:

$$a_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$$ $$a_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Следовательно, неравенство можно записать в виде:

$$(a — 0,5)(a — 2) \geq 0$$

Решение этого неравенства: $a \leq 0,5$ или $a \geq 2$.

Шаг 2: Неравенство $2a^2 — 5a + 1 \leq 1$

$$2a^2 — 5a + 1 \leq 1 \quad \text{(вычитаем 1 с обеих сторон)}$$ $$2a^2 — 5a \leq 0$$

Теперь решим это неравенство:

$$a(2a — 5) \leq 0$$

Для решения используем метод интервалов. Ищем корни:

$$a = 0 \quad \text{или} \quad 2a — 5 = 0 \Rightarrow a = 2,5$$

Получаем два интервала: $0 \leq a \leq 2,5$.

Шаг 3: Объединение решений

Теперь объединим решения:

• Для неравенства $2a^2 — 5a + 2 \geq 0$ решение: $a \leq 0,5$ или $a \geq 2$
• Для неравенства $2a^2 — 5a \leq 0$ решение: $0 \leq a \leq 2,5$

Ответ: Объединение решений даёт:

$$a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$$

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$.

в) $\cos x = 3a — 2$

Аналогично предыдущим уравнениям, решим неравенство $3a — 2 \in [-1; 1]$.

Шаг 1: Неравенство $-1 \leq 3a — 2 \leq 1$

1.1. Для левой части неравенства $-1 \leq 3a — 2$:

$$-1 \leq 3a — 2 \quad \text{(прибавим 2 к обеим частям)}$$ $$1 \leq 3a \quad \text{(делим обе части на 3)}$$ $$\frac{1}{3} \leq a$$

1.2. Для правой части неравенства $3a — 2 \leq 1$:

$$3a — 2 \leq 1 \quad \text{(прибавим 2 к обеим частям)}$$ $$3a \leq 3 \quad \text{(делим обе части на 3)}$$ $$a \leq 1$$

Шаг 2: Составляем итоговое неравенство

Соединим полученные решения:

$$\frac{1}{3} \leq a \leq 1$$

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$.

г) $\sin x = a^2 — 3$

Здесь снова решаем два неравенства для выражения $a^2 — 3$, так как $\sin x$ также лежит в интервале $[-1; 1]$.

Шаг 1: Неравенство $a^2 — 3 \geq -1$

$$a^2 — 3 \geq -1 \quad \text{(прибавим 3 к обеим частям)}$$ $$a^2 \geq 2$$

Решение этого неравенства:

$$a \leq -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad a \geq \sqrt{2}$$

Шаг 2: Неравенство $a^2 — 3 \leq 1$

$$a^2 — 3 \leq 1 \quad \text{(прибавим 3 к обеим частям)}$$ $$a^2 \leq 4$$

Решение этого неравенства:

$$-2 \leq a \leq 2$$

Шаг 3: Объединение решений

Объединение решений:

• Для неравенства $a^2 \geq 2$ решение: $a \leq -\sqrt{2}$ или $a \geq \sqrt{2}$
• Для неравенства $a^2 \leq 4$ решение: $-2 \leq a \leq 2$

Ответ: Объединение решений даёт:

$$a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$$

Ответ: Уравнение имеет решения при $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$.

Итоговые ответы:

а) $a \in [0; 1]$

б) $a \in [0; 0,5] \cup [2; 2,5]$

в) $a \in \left[ \frac{1}{3}; 1 \right]$

г) $a \in [-2; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; 2]$