ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра $a$ множество корней заданного уравнения не пусто:

а)$$\frac{a\cos x}{2\cos x+a}=5;$$

б)$$\frac{a\sin x+1}{2a-3\sin x}=2$$

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет решения:

а)

$$\frac{a\cos x}{2\cos x+a}=5;$$$$a\cos x=5\cdot (2\cos x+a);$$$$a\cos x=10\cos x+5a;$$$$a\cos x-10\cos x=5a;$$$$\cos x(a-10)=5a;$$$$\cos x=\frac{5a}{a-10};$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{5a}{a-10}\ge -1;$$$$\frac{5a}{a-10}+1\ge 0;$$$$\frac{5a+a-10}{a-10}\ge 0;$$$$(6a-10)(a-10)\ge 0;$$$$a\le \frac{5}{3}\text{ и }a>10;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{5a}{a-10}\le 1;$$$$\frac{5a}{a-10}-1\le 0;$$$$\frac{5a-a+10}{a-10}\le 0;$$$$(4a+10)(a-10)\le 0;$$$$-\frac{5}{2}\le a<10;$$

Ответ: $-\frac{5}{2}\le a\le \frac{5}{3}$.

б)

$$\frac{a\sin x+1}{2a-3\sin x}=2;$$$$a\sin x+1=2(2a-3\sin x);$$$$a\sin x+1=4a-6\sin x;$$$$a\sin x+6\sin x=4a-1;$$$$\sin x(a+6)=4a-1;$$$$\sin x=\frac{4a-1}{a+6};$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{4a-1}{a+6}\ge -1;$$$$\frac{4a-1}{a+6}+1\ge 0;$$$$\frac{4a-1+a+6}{a+6}\ge 0;$$$$(a+6)(5a+5)\ge 0;$$$$a<-6\text{ и }a\ge -1;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\frac{4a-1}{a+6}\le 1;$$$$\frac{4a-1}{a+6}-1\le 0;$$$$\frac{4a-1-a-6}{a+6}\le 0;$$$$(a+6)(3a-7)\le 0;$$$$-6<a\le \frac{7}{3};$$

Ответ: $-1\le a\le \frac{7}{3}$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет решения:

Часть (а)

Дано уравнение:

$$\frac{a\cos x}{2\cos x+a}=5.$$

1. Умножим обе части уравнения на $2\cos x+a$ (предположим, что $2\cos x+a\mathrm{\ne }0$):

$$a\cos x=5\cdot (2\cos x+a)\mathrm{.}$$

2. Раскроем скобки на правой стороне уравнения:

$$a\cos x=5\cdot 2\cos x+5\cdot a=10\cos x+5a\mathrm{.}$$

Теперь у нас получилось:

$$a\cos x=10\cos x+5a\mathrm{.}$$

3. Переносим все слагаемые, содержащие $\cos x$, в одну сторону, а все остальные слагаемые в другую:

$$a\cos x-10\cos x=5a\mathrm{.}$$

4. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x(a-10)=5a\mathrm{.}$$

5. Разделим обе части на $a-10$ (при $a\mathrm{\ne }10$):

$$\cos x=\frac{5a}{a-10}\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть выражение для $\cos x$.

6. Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы $\cos x$ находилось в пределах возможных значений косинуса, то есть:

$$-1\le \cos x\le 1.$$

Следовательно, необходимо, чтобы выполнялись следующие два условия:

1. $\frac{5a}{a-10}\ge -1$,
2. $\frac{5a}{a-10}\le 1$.

Решение первого неравенства:

$\frac{5a}{a-10}\ge -1$,

Прибавим 1 к обеим частям:

$$\frac{5a}{a-10}+1\ge 0.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{5a+(a-10)}{a-10}\ge 0,$$$$\frac{6a-10}{a-10}\ge 0.$$

Теперь анализируем это выражение. Для того чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одинакового знака. То есть:

• $6a-10\ge 0$ и $a-10>0$, или
• $6a-10\le 0$ и $a-10<0$.

Решим каждое из этих неравенств:

1. $6a-10\ge 0$ дает $a\ge \frac{5}{3}$.
2. $a-10>0$ дает $a>10$.

Или

1. $6a-10\le 0$ дает $a\le \frac{5}{3}$.
2. $a-10<0$ дает $a<10$.

Таким образом, получаем два интервала:

• $a\le \frac{5}{3}$ и $a>10$.

Решение второго неравенства:

$\frac{5a}{a-10}\le 1$,

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$\frac{5a}{a-10}-1\le 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{5a-(a-10)}{a-10}\le 0,$$$$\frac{4a+10}{a-10}\le 0.$$

Анализируем, когда эта дробь меньше или равна нулю. Дробь будет отрицательной, если числитель и знаменатель противоположны по знаку:

• $4a+10\ge 0$ и $a-10<0$, или
• $4a+10\le 0$ и $a-10>0$.

Решаем каждое из этих неравенств:

1. $4a+10\ge 0$ дает $a\ge -\frac{5}{2}$.
2. $a-10<0$ дает $a<10$.

Или

1. $4a+10\le 0$ дает $a\le -\frac{5}{2}$.
2. $a-10>0$ дает $a>10$.

Таким образом, получаем два интервала:

• $-\frac{5}{2}\le a<10$.

Ответ для части (а):

Из двух условий:

• $-\frac{5}{2}\le a<10$,
• $a\le \frac{5}{3}$ и $a>10$,

Мы получаем пересечение этих интервалов:

$$-\frac{5}{2}\le a\le \frac{5}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $-\frac{5}{2}\le a\le \frac{5}{3}$.

Часть (б)

Дано уравнение:

$$\frac{a\sin x+1}{2a-3\sin x}=2.$$

1. Умножим обе части уравнения на $2a-3\sin x$ (предположим, что $2a-3\sin x\mathrm{\ne }0$):

$$a\sin x+1=2\cdot (2a-3\sin x)\mathrm{.}$$

2. Раскроем скобки:

$$a\sin x+1=4a-6\sin x\mathrm{.}$$

3. Переносим все слагаемые, содержащие $\sin x$, в одну сторону, а все остальные слагаемые в другую:

$$a\sin x+6\sin x=4a-1.$$

4. Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x(a+6)=4a-1.$$

5. Разделим обе части на $a+6$ (при $a\mathrm{\ne }-6$):

$$\sin x=\frac{4a-1}{a+6}\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть выражение для $\sin x$.

6. Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы $\sin x$ находилось в пределах возможных значений синуса, то есть:

$$-1\le \sin x\le 1.$$

Следовательно, необходимо, чтобы выполнялись следующие два условия:

1. $\frac{4a-1}{a+6}\ge -1$,
2. $\frac{4a-1}{a+6}\le 1$.

Решение первого неравенства:

$\frac{4a-1}{a+6}\ge -1$,

Прибавим 1 к обеим частям:

$$\frac{4a-1}{a+6}+1\ge 0.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{4a-1+a+6}{a+6}\ge 0,$$$$\frac{5a+5}{a+6}\ge 0.$$

Анализируем это выражение. Для того чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одинакового знака:

• $5a+5\ge 0$ и $a+6>0$, или
• $5a+5\le 0$ и $a+6<0$.

Решаем каждое из этих неравенств:

1. $5a+5\ge 0$ дает $a\ge -1$.
2. $a+6>0$ дает $a>-6$.

Или

1. $5a+5\le 0$ дает $a\le -1$.
2. $a+6<0$ дает $a<-6$.

Таким образом, получаем два интервала:

• $a\ge -1$ и $a>-6$,
• $a\le -1$ и $a<-6$.

Решение второго неравенства:

$\frac{4a-1}{a+6}\le 1$,

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$\frac{4a-1}{a+6}-1\le 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{4a-1-(a+6)}{a+6}\le 0,$$$$\frac{3a-7}{a+6}\le 0.$$

Анализируем, когда эта дробь меньше или равна нулю. Дробь будет отрицательной, если числитель и знаменатель противоположны по знаку:

• $3a-7\ge 0$ и $a+6<0$, или
• $3a-7\le 0$ и $a+6>0$.

Решаем каждое из этих неравенств:

1. $3a-7\ge 0$ дает $a\ge \frac{7}{3}$.
2. $a+6<0$ дает $a<-6$.

Или

1. $3a-7\le 0$ дает $a\le \frac{7}{3}$.
2. $a+6>0$ дает $a>-6$.

Таким образом, получаем два интервала:

• $-6<a\le \frac{7}{3}$.

Ответ для части (б):

Из двух условий:

• $-6<a\le \frac{7}{3}$,
• $a\ge -1$ и $a>-6$,

Мы получаем пересечение этих интервалов:

$$-1\le a\le \frac{7}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $-1\le a\le \frac{7}{3}$.

Итоговый ответ:

Для части (а): $-\frac{5}{2}\le a\le \frac{5}{3}$.
Для части (б): $-1\le a\le \frac{7}{3}$.