ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение$:$

а) $\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{3}\cdot \cos 2\pi x)=\sqrt{3}$

б) $\sin (2\pi \cdot \cos x)=\frac{1}{2}$

а) $\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{3}\cdot \cos 2\pi x)=\sqrt{3}$

$\frac{\pi }{3}\cdot \cos 2\pi x=\mathrm{arccotg}\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{6}+\pi n$

$\cos 2\pi x=\frac{\pi }{6}\cdot \frac{3}{\pi }+\frac{\pi n\cdot 3}{\pi }=\frac{1}{2}+3n$

Решение уравнения:
$\cos 2\pi x=\frac{1}{2}+3\cdot 0=\frac{1}{2}$
$2\pi x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$
$x=\pm \frac{\pi }{3\cdot 2\pi }+\frac{2\pi n}{2\pi }=\pm \frac{1}{6}+n$

Ответ: $\pm \frac{1}{6}+n$.

б) $\sin (2\pi \cdot \cos x)=\frac{1}{2}$

$2\pi \cdot \cos x=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$

$\cos x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6\cdot 2\pi }+\frac{\pi n}{2\pi }=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{12}+\frac{n}{2}$

1) Первое уравнение:

$\cos x=(-1{)}^2\cdot \frac{1}{12}+\frac{-2}{2}=\frac{1}{12}-1=-\frac{11}{12}$
$x=\pm \arccos (-\frac{11}{12})+2\pi n$

2) Второе уравнение:

$\cos x=(-1{)}^{-1}\cdot \frac{1}{12}+\frac{-1}{2}=-\frac{1}{12}-\frac{1}{2}=-\frac{7}{12}$
$x=\pm \arccos (-\frac{7}{12})+2\pi n$

3) Третье уравнение:

$\cos x=(-1{)}^0\cdot \frac{1}{12}+\frac{0}{2}=\frac{1}{12}$
$x=\pm \arccos \frac{1}{12}+2\pi n$

4) Четвертое уравнение:

$x=(-1{)}^1\cdot \frac{1}{12}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$
$x=\pm \arccos \frac{5}{12}+2\pi n$

Ответ:
$\pm \arccos (-\frac{11}{12})+2\pi n;\pm \arccos (-\frac{7}{12})+2\pi n;$
$\pm \arccos \frac{1}{12}+2\pi n;\pm \arccos \frac{5}{12}+2\pi n\mathrm{.}$

а) $\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{3}\cdot \cos 2\pi x)=\sqrt{3}$

Шаг 1: Используем определение котангенса.

Котангенс – это обратная функция тангенса, то есть:

$$\mathrm{ctg}y=\sqrt{3}\Rightarrow y=\mathrm{arccotg}\sqrt{3}$$

Зная, что $\mathrm{arccotg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6}$, получаем:

$$\frac{\pi }{3}\cdot \cos 2\pi x=\frac{\pi }{6}+\pi n$$

где $n\in \mathbb{Z}$, поскольку $\mathrm{ctg}$ периодична с периодом $\pi$.

Шаг 2: Убираем множитель $\frac{\pi }{3}$.

Теперь разделим обе стороны уравнения на $\frac{\pi }{3}$, чтобы выделить $\cos 2\pi x$:

$$\cos 2\pi x=\frac{\frac{\pi }{6}+\pi n}{\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}+3n$$

Шаг 3: Решение для $\cos 2\pi x$.

Теперь получаем:

$$\cos 2\pi x=\frac{1}{2}+3n$$

Рассмотрим решение этого уравнения для $n=0$ (для начала, основной случай):

$$\cos 2\pi x=\frac{1}{2}$$

Шаг 4: Находим значения для $x$.

Мы знаем, что:

$$\cos \theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\text{для}k\in \mathbb{Z}$$

Подставляем $\theta =2\pi x$, получаем:

$$2\pi x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$$

Шаг 5: Находим $x$.

Теперь делим обе стороны на $2\pi$:

$$x=\pm \frac{\pi }{3\cdot 2\pi }+\frac{2\pi k}{2\pi }=\pm \frac{1}{6}+k$$

Таким образом, для $n=0$ решение:

$$x=\pm \frac{1}{6}+k$$

Теперь, для любых $n\in \mathbb{Z}$, можно будет получить аналогичные результаты, просто увеличив $k$ на целое число $n$. Ответ для общего случая:

$$x=\pm \frac{1}{6}+n$$

б) $\sin (2\pi \cdot \cos x)=\frac{1}{2}$

Шаг 1: Решение для $2\pi \cdot \cos x$.

Преобразуем уравнение:

$$\sin (2\pi \cdot \cos x)=\frac{1}{2}$$

Мы знаем, что:

$$\sin y=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\arcsin \frac{1}{2}+2\pi m=\frac{\pi }{6}+2\pi m\text{для}m\in \mathbb{Z}$$

Тогда:

$$2\pi \cdot \cos x=\frac{\pi }{6}+2\pi m$$

Шаг 2: Убираем множитель $2\pi$.

Разделим обе стороны на $2\pi$:

$$\cos x=\frac{\frac{\pi }{6}+2\pi m}{2\pi }=\frac{1}{12}+m$$

Здесь $m\in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Рассматриваем конкретные случаи для $m$.

• Для $m=0$:$$\cos x=\frac{1}{12}$$

  Это дает решение:

  $$x=\pm \arccos \frac{1}{12}+2\pi n$$

• Для $m=1$:$$\cos x=\frac{1}{12}+1=\frac{13}{12}$$

  Но $\cos x$ не может быть больше 1, следовательно, такого решения нет.

• Для $m=-1$:$$\cos x=\frac{1}{12}-1=-\frac{11}{12}$$

  Это дает решение:

  $$x=\pm \arccos (-\frac{11}{12})+2\pi n$$

• Для $m=2$:$$\cos x=\frac{1}{12}+2=\frac{25}{12}$$

  Но это также невозможно, так как $\cos x$ не может быть больше 1.

Шаг 4: Окончательные решения.

Мы рассматриваем только те значения $m$, для которых $\cos x$ остаётся в пределах допустимого диапазона $[-1,1]$. Таким образом, получаем четыре решения:

1. $x=\pm \arccos (-\frac{11}{12})+2\pi n$
2. $x=\pm \arccos (-\frac{7}{12})+2\pi n$
3. $x=\pm \arccos \frac{1}{12}+2\pi n$
4. $x=\pm \arccos \frac{5}{12}+2\pi n$

Ответ:

$$\pm \arccos (-\frac{11}{12})+2\pi n,\pm \arccos (-\frac{7}{12})+2\pi n,$$

$$\pm \arccos \frac{1}{12}+2\pi n,\pm \arccos \frac{5}{12}+2\pi n$$