ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.68 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\sin x \cdot \sqrt{4 — x^2} \leq 0$;

б) $\cos x \cdot \sqrt{x + 2 — x^2} \geq 0$

а) $\sin x \cdot \sqrt{4 — x^2} \leq 0$;

Решение неравенства:

$$\sin x \leq 0;$$ $$x = \pi n;$$ $$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n;$$

Решение уравнения:

$$\sqrt{4 — x^2} = 0;$$ $$4 — x^2 = 0;$$ $$x^2 = 4;$$ $$x = \pm 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$4 — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 \leq 4;$$ $$(x + 2)(x — 2) \leq 0;$$ $$-2 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $-2 \leq x \leq 0; \, x = 2$.

б) $\cos x \cdot \sqrt{x + 2 — x^2} \geq 0$;

Решение неравенства:

$$\cos x \geq 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Решение уравнения:

$$\sqrt{x + 2 — x^2} = 0;$$ $$x^2 — x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 2 — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 — x — 2 \leq 0;$$ $$(x + 1)(x — 2) \leq 0;$$ $$-1 \leq x \leq 2;$$

Ответ: $-1 \leq x \leq \frac{\pi}{2}; \, x = 2$.

а) $\sin x \cdot \sqrt{4 — x^2} \leq 0$

Решение неравенства:

Неравенство имеет вид:

$$\sin x \cdot \sqrt{4 — x^2} \leq 0$$

Рассмотрим два множителя: $\sin x$ и $\sqrt{4 — x^2}$.

• $\sqrt{4 — x^2}$ — это квадратный корень, который существует только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно, то есть:

  $$4 — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq x \leq 2$$

  Следовательно, $\sqrt{4 — x^2}$ определено для $x \in [-2, 2]$.

• Теперь обратим внимание на знак каждого множителя:
  • $\sin x \leq 0$ для $x \in [\pi n, \pi n + \pi]$, где $n$ — целое число.
  • Поскольку $\sqrt{4 — x^2}$ всегда неотрицательно на интервале $[-2, 2]$, то при решении неравенства важно, чтобы $\sin x \leq 0$.

Для нахождения области, где $\sin x \leq 0$, рассмотрим периодичность функции синуса. $\sin x \leq 0$ на интервалах:

$$x \in [\pi n, \pi n + \pi], \quad n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, неравенство выполняется, когда $x$ лежит на этих интервалах.

Ответ для неравенства:

$$-\pi + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение уравнения:

Рассмотрим уравнение:

$$\sin x \cdot \sqrt{4 — x^2} = 0$$

Это уравнение выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю.

• Первый множитель $\sin x = 0$ при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Второй множитель $\sqrt{4 — x^2} = 0$ при:

  $$4 — x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

Таким образом, решения уравнения:

$$x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \pm 2$$

Математическая область определения выражения:

Мы уже установили, что выражение $\sqrt{4 — x^2}$ имеет смысл при $-2 \leq x \leq 2$.

Таким образом, область определения выражения $\sin x \cdot \sqrt{4 — x^2}$ ограничена интервалом $x \in [-2, 2]$.

Ответ: $-2 \leq x \leq 0; \, x = 2$.

б) $\cos x \cdot \sqrt{x + 2 — x^2} \geq 0$

Решение неравенства:

Неравенство имеет вид:

$$\cos x \cdot \sqrt{x + 2 — x^2} \geq 0$$

Рассмотрим два множителя: $\cos x$ и $\sqrt{x + 2 — x^2}$.

• $\cos x$ меняет знак с положительного на отрицательное через $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. То есть $\cos x \geq 0$ на интервалах:

  $$x \in \left[ -\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right]$$

• Рассмотрим второй множитель:

  $$\sqrt{x + 2 — x^2}$$

  Это выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть:

  $$x + 2 — x^2 \geq 0$$

  Перепишем неравенство:

  $$-x^2 + x + 2 \geq 0$$

  Домножим на $-1$ (меняем знак неравенства):

  $$x^2 — x — 2 \leq 0$$

  Решим это квадратное неравенство:

  $$x^2 — x — 2 = 0$$

  Найдем корни уравнения:

  $$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

  Таким образом, корни уравнения $x = -1$ и $x = 2$, и неравенство $x^2 — x — 2 \leq 0$ выполняется для:

  $$-1 \leq x \leq 2$$

  Следовательно, выражение $\sqrt{x + 2 — x^2}$ существует и определено на интервале $-1 \leq x \leq 2$.

Решение уравнения:

Уравнение имеет вид:

$$\cos x \cdot \sqrt{x + 2 — x^2} = 0$$

Уравнение выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю.

• Первый множитель $\cos x = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Второй множитель $\sqrt{x + 2 — x^2} = 0$ при:

  $$x + 2 — x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — x — 2 = 0$$

  Мы уже нашли, что корни этого уравнения $x = -1$ и $x = 2$.

Таким образом, решения уравнения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{или} \quad x = -1, 2$$

Математическая область определения выражения:

Мы уже установили, что выражение $\sqrt{x + 2 — x^2}$ имеет смысл при $-1 \leq x \leq 2$.

Таким образом, область определения выражения $\cos x \cdot \sqrt{x + 2 — x^2}$ ограничена интервалом $x \in [-1, 2]$.

Ответ: $-1 \leq x \leq \frac{\pi}{2}; \, x = 2$.