ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin x = -1$;

г) $\sin x = -\frac{1}{2}$

а) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \left(-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \left(-\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $\sin x = -1$;

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

г) $\sin x = -\frac{1}{2}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \left(-\arcsin \frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Мы знаем, что $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при углах $x = \frac{4\pi}{3}$ и $x = \frac{5\pi}{3}$ на интервале $[0, 2\pi]$, так как:

$$\sin \left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2: Общая форма решения

Функция синуса является периодической с периодом $2\pi$. Таким образом, для всех углов, где $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, общее решение можно записать как:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n.$$

Так как $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$, подставляем это значение:

$$x = (-1)^n \cdot \left(-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

б) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Мы знаем, что $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах $x = \frac{5\pi}{4}$ и $x = \frac{7\pi}{4}$ на интервале $[0, 2\pi]$, так как:

$$\sin \left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 2: Общая форма решения

Поскольку синус имеет период $2\pi$, общее решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n.$$

Так как $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$, подставляем это значение:

$$x = (-1)^n \cdot \left(-\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

в) $\sin x = -1$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin x = -1$

Мы знаем, что $\sin x = -1$ только при $x = -\frac{\pi}{2}$ на интервале $[0; 2\pi]$, так как:

$$\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1.$$

Шаг 2: Общая форма решения

Поскольку синус имеет период $2\pi$, решение для всех углов, где $\sin x = -1$, можно записать как:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

г) $\sin x = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$

Мы знаем, что $\sin x = -\frac{1}{2}$ при углах $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$ на интервале $[0, 2\pi]$, так как:

$$\sin \left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}, \quad \sin \left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Общая форма решения

Поскольку синус имеет период $2\pi$, общее решение для всех углов, где $\sin x = -\frac{1}{2}$, будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n.$$

Так как $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, подставляем это значение:

$$x = (-1)^n \cdot \left(-\arcsin \frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$

б) $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$

в) $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

г) $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$