ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin x = \frac{1}{4}$;

б) $\sin x = \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin x = -\frac{1}{7}$;

г) $\sin x = \frac{\pi}{3}$

а) $\sin x = \frac{1}{4}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n;$$

б) $\sin x = \frac{\pi}{4}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

в) $\sin x = -\frac{1}{7}$;

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left(-\frac{1}{7}\right) + \pi n; x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n;$$

г) $\sin x = \frac{\pi}{3}$;
$\pi \approx 3,14$;
$\pi > 3$;
$\frac{\pi}{3} > 1$;

Ответ: корней нет.

а) $\sin x = \frac{1}{4}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin x = \frac{1}{4}$

Мы знаем, что синус угла равен $\frac{1}{4}$ при каком-то угле $x$. Решение для такого уравнения можно найти, используя арксинус:

$$x = \arcsin \frac{1}{4}.$$

Так как синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, решение для всех углов, где $\sin x = \frac{1}{4}$, можно записать следующим образом:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, так как арксинус возвращает только решения на интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$, и синус имеет два решения в каждом периоде.

Шаг 2: Ответ

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$.

б) $\sin x = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Проверка существования решения

Сначала стоит заметить, что $\sin x$ принимает значения только в пределах $[-1, 1]$. Однако, $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, и это значение лежит внутри интервала $[-1, 1]$, что означает, что существует решение. Теперь нам нужно найти угол, синус которого равен $\frac{\pi}{4}$.

Шаг 2: Решение уравнения

Для $\sin x = \frac{\pi}{4}$ мы можем воспользоваться арксинусом:

$$x = \arcsin \frac{\pi}{4}.$$

Так как синус имеет период $2\pi$, общее решение для всех углов, где $\sin x = \frac{\pi}{4}$, будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 3: Ответ

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $\sin x = -\frac{1}{7}$

Шаг 1: Решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{7}$

Мы знаем, что синус равен $-\frac{1}{7}$ при угле $x$, который можно найти через арксинус:

$$x = \arcsin \left( -\frac{1}{7} \right).$$

Для отрицательного значения синуса мы получим угол в четверти, где синус отрицателен. Поскольку синус является нечетной функцией, общее решение для всех углов, где $\sin x = -\frac{1}{7}$, будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( -\frac{1}{7} \right) + \pi n.$$

Используя свойство нечетности функции синуса, это можно записать как:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n.$$

Шаг 2: Ответ

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n$.

г) $\sin x = \frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Проверка существования решения

Значение $\frac{\pi}{3}$ примерно равно $1.047$, что больше 1. Поскольку синус может принимать значения только в пределах $[-1, 1]$, то значение $\frac{\pi}{3}$ выходит за пределы возможных значений для синуса.

Шаг 2: Заключение

Поскольку синус не может быть больше 1, это уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

Итоговые ответы:

а) $x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$

б) $x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\pi}{4} + \pi n$

в) $x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n$

г) корней нет