ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 22 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Придумайте какой-либо квадратный трёхчлен, между корнями которого заключено ровно 77 натуральных чисел.

Придумать какой-либо квадратный трехчлен, между корнями которого заключено ровно 77 натуральных чисел;

Выберем два числа, между которыми лежит 77 натуральных чисел:

$$x_1 = 4;$$ $$x_2 = (4 + 1) + 77 = 82;$$

Квадратный трехчлен в интервальном виде:

$$(x — 4)(x — 82) = x^2 — 82x — 4x + 328 = x^2 — 86x + 328;$$

Ответ: $x^2 — 86x + 328$.

Нужно придумать квадратный трехчлен, между корнями которого заключено ровно 77 натуральных чисел.

Подход к решению:

1. Определим два числа (корня квадратного трехчлена), между которыми лежит ровно 77 натуральных чисел.

   Квадратный трехчлен можно записать как произведение двух линейных множителей:

   $$(x — x_1)(x — x_2)$$

   где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена, и они расположены на числовой оси.

2. Корни должны быть такими, чтобы между ними было ровно 77 натуральных чисел.

   Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого квадратного трехчлена, то количество натуральных чисел между ними можно посчитать как разницу между $x_2$ и $x_1$ минус единица (так как числа между ними исключают сами $x_1$ и $x_2$):

   $$x_2 — x_1 — 1 = 77$$

   Переходим к решению уравнения для $x_2$ и $x_1$:

   $$x_2 — x_1 = 78$$

   Таким образом, разница между $x_1$ и $x_2$ должна быть равна 78.

3. Выберем конкретные значения для $x_1$ и $x_2$.

   Пусть $x_1 = 4$, тогда:

   $$x_2 = x_1 + 78 = 4 + 78 = 82$$

   Таким образом, корни квадратного трехчлена будут равны 4 и 82. Между ними действительно находится 77 натуральных чисел, так как:

   $$82 — 4 — 1 = 77$$

4. Теперь составим квадратный трехчлен, имея два корня $x_1 = 4$ и $x_2 = 82$.

   Квадратный трехчлен можно записать как произведение линейных множителей:

   $$(x — x_1)(x — x_2) = (x — 4)(x — 82)$$

   Раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена:

   $$(x — 4)(x — 82) = x^2 — 82x — 4x + 328$$

   Упростим выражение:

   $$x^2 — 82x — 4x + 328 = x^2 — 86x + 328$$

   Таким образом, квадратный трехчлен будет выглядеть следующим образом:

   $$x^2 — 86x + 328$$

Ответ:

Квадратный трехчлен, между корнями которого заключено ровно 77 натуральных чисел:

$$x^2 — 86x + 328$$

Подробное объяснение каждого шага:

Шаг 1: Определение расстояния между корнями.
Мы начали с того, что разница между корнями $x_2$ и $x_1$ должна быть равна 78, так как между ними должно быть 77 натуральных чисел. Это важно для правильного определения чисел, между которыми мы ищем квадратный трехчлен.

Шаг 2: Выбор корней.
Мы выбрали корни 4 и 82, так как разница между ними равна 78, что удовлетворяет условию задачи. Корни выбраны так, чтобы между ними действительно находилось ровно 77 натуральных чисел.

Шаг 3: Построение квадратного трехчлена.
Мы использовали стандартное представление квадратного трехчлена в виде произведения линейных множителей. После раскрытия скобок получили нужное выражение $x^2 — 86x + 328$.

Шаг 4: Подтверждение правильности ответа.
Мы проверили, что между корнями действительно заключено 77 натуральных чисел. Это подтвердилось разницей $82 — 4 = 78$, и после вычитания 1 (для исключения самих корней) получилось 77 натуральных чисел.

Таким образом, решение задачи выполнено правильно, и квадратный трехчлен $x^2 — 86x + 328$ является ответом.