ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$;

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$;

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x — 3 = 0$;

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$

а) $3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$3y^2 — 5y — 2 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};$$ $$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$

Первое значение:

$$\sin x = -\frac{1}{3};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x = 2 — \text{корней нет};$$

Ответ:

$$(-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n.$$

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$;

Пусть $y = \sin 2x$, тогда:

$$3y^2 + 10y + 3 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3;$$ $$y_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\sin 2x = -3 — \text{корней нет};$$

Второе значение:

$$\sin 2x = -\frac{1}{3};$$ $$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}.$$

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x — 3 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$4y^2 + 11y — 3 = 0;$$ $$D = 11^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 121 + 48 = 169, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-11 — 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3;$$ $$y_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};$$

Первое значение:

$$\sin x = -3 — \text{корней нет};$$

Второе значение:

$$\sin x = \frac{1}{4};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n.$$

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$;

Пусть $y = \sin \frac{x}{2}$, тогда:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое значение:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\sin \frac{x}{2} = 1;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \pi + 4\pi n;$$

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \pi + 4\pi n.$$

а) $3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Исходное уравнение:

$$3 \sin^2 x — 5 \sin x — 2 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Чтобы упростить решение, введём замену:

$$y = \sin x$$

Тогда уравнение преобразуется в:

$$3y^2 — 5y — 2 = 0$$

Нахождение корней квадратного уравнения:

Для нахождения корней применим дискриминант. Формула для дискриминанта $D$ квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ выглядит как:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставим коэффициенты $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Теперь найдём корни уравнения по формулам:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения $b = -5$, $D = 49$, $a = 3$:

$$y_1 = \frac{5 — 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

Таким образом, мы получили два корня:

$$y_1 = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = 2$$

Решение для первого значения $y_1 = -\frac{1}{3}$:

Теперь вернёмся к переменной $\sin x$. Первое значение для $y_1$:

$$\sin x = -\frac{1}{3}$$

Нам нужно найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению. Сначала находим:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$, поскольку синус имеет период $2\pi$, а также существует два решения для синуса на каждом периоде.

Решение для второго значения $y_2 = 2$:

Второе значение:

$$\sin x = 2$$

Однако значение синуса не может быть больше 1 (максимальное значение $\sin x = 1$), следовательно, решения для этого значения нет. Таким образом:

$$\text{Корней нет.}$$

Ответ для части а):

$$(-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n$$

б) $3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Пусть:

$$y = \sin 2x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 + 10y + 3 = 0$$

Нахождение корней квадратного уравнения:

Используем дискриминант для уравнения $3y^2 + 10y + 3 = 0$:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$

Теперь найдём корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 — 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ $$y_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Таким образом, получаем два значения для $y$:

$$y_1 = -3, \quad y_2 = -\frac{1}{3}$$

Решение для первого значения $y_1 = -3$:

Для $\sin 2x = -3$ решение не существует, так как синус не может быть меньше -1. Следовательно, для $y_1 = -3$ корней нет.

Решение для второго значения $y_2 = -\frac{1}{3}$:

Для $\sin 2x = -\frac{1}{3}$ найдём все значения $x$. Поскольку синус принимает два значения на каждом периоде:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n$$

Разделим на 2, чтобы получить значения для $x$:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для части б):

$$(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + \frac{\pi n}{2}$$

в) $4 \sin^2 x + 11 \sin x — 3 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Пусть:

$$y = \sin x$$

Тогда уравнение преобразуется в:

$$4y^2 + 11y — 3 = 0$$

Нахождение корней квадратного уравнения:

Для уравнения $4y^2 + 11y — 3 = 0$ применим дискриминант:

$$D = 11^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-11 — \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 — 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3$$ $$y_2 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Таким образом, получаем два значения для $y$:

$$y_1 = -3, \quad y_2 = \frac{1}{4}$$

Решение для первого значения $y_1 = -3$:

Для $\sin x = -3$ решение не существует, так как синус не может быть меньше -1.

Решение для второго значения $y_2 = \frac{1}{4}$:

Для $\sin x = \frac{1}{4}$ найдём все значения $x$. Поскольку синус принимает два значения на каждом периоде:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + \pi n$$

Ответ для части в):

$$(-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + \pi n$$

г) $2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Пусть:

$$y = \sin \frac{x}{2}$$

Тогда уравнение преобразуется в:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Нахождение корней квадратного уравнения:

Для уравнения $2y^2 — 3y + 1 = 0$ применим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

Решение для первого значения $y_1 = \frac{1}{2}$:

Для $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ найдём все значения $x$:

$$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Умножим на 2:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Решение для второго значения $y_2 = 1$:

Для $\sin \frac{x}{2} = 1$ найдём все значения $x$:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Умножим на 2:

$$x = \pi + 4\pi n$$

Ответ для части г):

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \pi + 4\pi n$$