ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\operatorname{tg} x \cdot \sin 2x = 0$;

б) $(1 + \cos x) \left( \frac{1}{\sin x} — 1 \right) = 0$;

в) $\cos x \cdot \operatorname{tg} 3x = 0$;

г) $(1 + \cos x) \cdot \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0$

а) $\operatorname{tg} x \cdot \sin 2x = 0$;

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} x = 0;$$ $$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\pi n$.

б) $(1 + \cos x) \left( \frac{1}{\sin x} — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:

$$1 + \cos x = 0;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\frac{1}{\sin x} — 1 = 0;$$ $$1 — \sin x = 0;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

в) $\cos x \cdot \operatorname{tg} 3x = 0$;

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\operatorname{tg} 3x = 0;$$ $$3x = \arctg 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 3x \neq 0;$$ $$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{3}$.

г) $(1 + \cos x) \cdot \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0$;

Первое уравнение:

$$1 + \cos x = 0;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0;$$ $$\frac{x}{2} = \arctg 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos \frac{x}{2} \neq 0;$$ $$\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \pi + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n$.

а) $\operatorname{tg} x \cdot \sin 2x = 0$;

Уравнение можно разложить на два простых уравнения:

$$\operatorname{tg} x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 2x = 0.$$

1. Первое уравнение: $\operatorname{tg} x = 0$

Тангенс $\operatorname{tg} x$ равен нулю, когда синус равен нулю, а косинус не равен нулю. То есть:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 0 \quad \text{и} \quad \cos x \neq 0.$$

Решение уравнения $\sin x = 0$ дается значениями:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Так как косинус в этих точках равен $\cos(\pi n) = (-1)^n$, а это не равно нулю, решение действительно.

Ответ для первого уравнения:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Второе уравнение: $\sin 2x = 0$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся следующим соотношением для синуса удвоенного угла:

$$\sin 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда:

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. Условие на выражение: $\cos x \neq 0$

Для того чтобы выражение $\operatorname{tg} x \cdot \sin 2x$ имело смысл, необходимо, чтобы косинус не был равен нулю, так как тангенс не определён для $\cos x = 0$. Косинус равен нулю в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Итак, условие для допустимых значений $x$ будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

Объединяя решения для обоих уравнений, получаем:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) $(1 + \cos x) \left( \frac{1}{\sin x} — 1 \right) = 0$;

Это уравнение также можно разложить на два отдельных уравнения:

$$1 + \cos x = 0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{\sin x} — 1 = 0.$$

1. Первое уравнение: $1 + \cos x = 0$

Решение для этого уравнения:

$$1 + \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -1.$$

Косинус равен $-1$ в точках:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Второе уравнение: $\frac{1}{\sin x} — 1 = 0$

Решаем это уравнение:

$$\frac{1}{\sin x} — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sin x} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 1.$$

Синус равен $1$ в точках:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. Условие на выражение: $\sin x \neq 0$

Для того чтобы выражение $\frac{1}{\sin x}$ было определено, необходимо, чтобы $\sin x \neq 0$. Синус равен нулю в точках $x = \pi n$. Поэтому:

$$x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

Объединяя решения для обоих уравнений, получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

в) $\cos x \cdot \operatorname{tg} 3x = 0$;

Это уравнение также можно разложить на два уравнения:

$$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} 3x = 0.$$

1. Первое уравнение: $\cos x = 0$

Решаем это уравнение:

$$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Второе уравнение: $\operatorname{tg} 3x = 0$

Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю, а косинус не равен нулю. То есть:

$$\operatorname{tg} 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда:

$$x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. Условие на выражение: $\cos 3x \neq 0$

Для того чтобы выражение $\operatorname{tg} 3x$ имело смысл, необходимо, чтобы $\cos 3x \neq 0$. Косинус равен нулю в точках $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть:

$$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

Объединяя решения для обоих уравнений, получаем:

$$x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

г) $(1 + \cos x) \cdot \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0$;

Это уравнение разлагается на два уравнения:

$$1 + \cos x = 0 \quad \text{или} \quad \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0.$$

1. Первое уравнение: $1 + \cos x = 0$

Решение для этого уравнения:

$$1 + \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -1.$$

Косинус равен $-1$ в точках:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Второе уравнение: $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0$

Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю, а косинус не равен нулю. То есть:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin \frac{x}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда:

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. Условие на выражение: $\cos \frac{x}{2} \neq 0$

Для того чтобы выражение $\operatorname{tg} \frac{x}{2}$ имело смысл, необходимо, чтобы $\cos \frac{x}{2} \neq 0$. Косинус равен нулю в точках $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть:

$$x \neq \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

Объединяя решения для обоих уравнений, получаем:

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итоговые ответы:

а) $x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

б) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

в) $x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}.$

г) $x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$