ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin x=\frac{3}{4}\cos x\mathrm{}$

б) $3\sin x=2\cos x\mathrm{}$

в) $2\sin x+5\cos x=0\mathrm{}$

г) $\sin x\cdot \cos x-3{\cos }^{2}x=0$

а) $\sin x = \frac{3}{4} \cos x \quad | : \cos x$;

$$\tan x = \frac{3}{4};$$ $$x = \arctg \frac{3}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\arctg \frac{3}{4} + \pi n$.

б) $3 \sin x = 2 \cos x \quad | : \cos x$;

$$3 \tan x = 2;$$ $$\tan x = \frac{2}{3};$$ $$x = \arctg \frac{2}{3} + \pi n;$$

Ответ: $\arctg \frac{2}{3} + \pi n$.

в) $2 \sin x + 5 \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$$2 \tan x + 5 = 0;$$ $$2 \tan x = -5;$$ $$\tan x = -2.5;$$ $$x = -\arctg 2.5 + \pi n;$$

Ответ: $-\arctg 2.5 + \pi n$.

г) $\sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;

$$\tan x — 3 = 0;$$ $$\tan x = 3;$$ $$x = \arctg 3 + \pi n;$$

Одно из решений:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \arctg 3 + \pi n$.

а) $\sin x = \frac{3}{4} \cos x \quad | : \cos x$

Рассмотрим данное уравнение:

$$\sin x = \frac{3}{4} \cos x.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3}{4}.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$\tan x = \frac{3}{4}.$$

Шаг 3: Решаем уравнение для $x$:

Так как $\tan x = \frac{3}{4}$, решение этого уравнения будет:

$$x = \arctg \frac{3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x = \arctg \frac{3}{4} + \pi n.$$

б) $3 \sin x = 2 \cos x \quad | : \cos x$

Рассмотрим данное уравнение:

$$3 \sin x = 2 \cos x.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{3 \sin x}{\cos x} = 2.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$3 \tan x = 2.$$

Шаг 3: Решаем уравнение для $x$:

$$\tan x = \frac{2}{3}.$$

Теперь находим решение этого уравнения:

$$x = \arctg \frac{2}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x = \arctg \frac{2}{3} + \pi n.$$

в) $2 \sin x + 5 \cos x = 0 \quad | : \cos x$

Рассмотрим данное уравнение:

$$2 \sin x + 5 \cos x = 0.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{2 \sin x}{\cos x} + 5 = 0.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$2 \tan x + 5 = 0.$$

Шаг 3: Переносим 5 на правую сторону:

$$2 \tan x = -5.$$

Шаг 4: Решаем для $\tan x$:

$$\tan x = -2.5.$$

Теперь находим решение уравнения:

$$x = -\arctg 2.5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x = -\arctg 2.5 + \pi n.$$

г) $\sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$

Рассмотрим данное уравнение:

$$\sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} — 3 = 0.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$\tan x — 3 = 0.$$

Шаг 3: Решаем для $\tan x$:

$$\tan x = 3.$$

Теперь находим решение уравнения:

$$x = \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 4: Дополнительные решения (если $\cos x = 0$):

Также возможно, что $\cos x = 0$. Решим это уравнение:

$$\cos x = 0.$$

Косинус равен нулю в точках:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

Объединяя оба возможных решения, получаем:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \arctg 3 + \pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $x = \arctg \frac{3}{4} + \pi n$.

б) $x = \arctg \frac{2}{3} + \pi n$.

в) $x = -\arctg 2.5 + \pi n$.

г) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \arctg 3 + \pi n$.