ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0\mathrm{}$

б) $\sin x+\cos x=0\mathrm{}$

в) $\sin x-3\cos x=0\mathrm{}$

г) $\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$

а) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$$\tan x + \sqrt{3} = 0;$$ $$\tan x = -\sqrt{3};$$ $$x = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$$\tan x + 1 = 0;$$ $$\tan x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $\sin x — 3 \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$$\tan x — 3 = 0;$$ $$\tan x = 3;$$ $$x = \arctg 3 + \pi n;$$

Ответ: $\arctg 3 + \pi n$.

г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0;$$ $$\sqrt{3} \tan x = -1;$$ $$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \quad | : \cos x$

Дано уравнение:

$$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3} = 0.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$\tan x + \sqrt{3} = 0.$$

Шаг 3: Переносим $\sqrt{3}$ на правую сторону:

$$\tan x = -\sqrt{3}.$$

Шаг 4: Решаем уравнение для $x$. Поскольку $\tan x = -\sqrt{3}$, находим:

$$x = -\arctg \sqrt{3} + \pi n.$$

Зная, что $\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n.$$

б) $\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x$

Дано уравнение:

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$:

$$\frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$\tan x + 1 = 0.$$

Шаг 3: Переносим 1 на правую сторону:

$$\tan x = -1.$$

Шаг 4: Решаем уравнение для $x$. Поскольку $\tan x = -1$, находим:

$$x = -\arctg 1 + \pi n.$$

Зная, что $\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

в) $\sin x — 3 \cos x = 0 \quad | : \cos x$

Дано уравнение:

$$\sin x — 3 \cos x = 0.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$:

$$\frac{\sin x}{\cos x} — 3 = 0.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$\tan x — 3 = 0.$$

Шаг 3: Переносим 3 на правую сторону:

$$\tan x = 3.$$

Шаг 4: Решаем уравнение для $x$. Поскольку $\tan x = 3$, находим:

$$x = \arctg 3 + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \arctg 3 + \pi n.$$

г) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x$

Дано уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 0.$$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$:

$$\frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} + 1 = 0.$$

Шаг 2: Используем определение тангенса:

$$\sqrt{3} \tan x + 1 = 0.$$

Шаг 3: Переносим 1 на правую сторону:

$$\sqrt{3} \tan x = -1.$$

Шаг 4: Делим обе части на $\sqrt{3}$:

$$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Шаг 5: Решаем уравнение для $x$. Поскольку $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, находим:

$$x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n.$$

Зная, что $\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Итоговые ответы:

а) $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$.

б) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

в) $x = \arctg 3 + \pi n$.

г) $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.