ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$${\sin }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0$$

б)$$\sqrt{3}\sin x\cdot \cos x+{\cos }^{2}x=0$$

в)$${\sin }^{2}x=3\sin x\cdot \cos x\mathrm{}$$

г)$$\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\sin x\cdot \cos x$$

а)

$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \sin^2 x;$$ $$1 + \operatorname{ctg} x = 0;$$ $$\operatorname{ctg} x = -1;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Одно из решений:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi n.$

б)

$$\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\sqrt{3} \tg x + 1 = 0;$$ $$\sqrt{3} \tg x = -1;$$ $$\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Одно из решений:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n.$

в)

$$\sin^2 x = 3 \sin x \cdot \cos x \quad | : \sin^2 x;$$ $$1 = 3 \operatorname{ctg} x;$$ $$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{3};$$ $$\tg x = 3;$$ $$x = \arctg 3 + \pi n;$$

Одно из решений:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ: $\arctg 3 + \pi n; \pi n.$

г)

$$\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cdot \cos x \quad | : \cos^2 x;$$ $$\sqrt{3} = \tg x;$$ $$x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Одно из решений:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n.$

а)

Задача:

$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x = 0$$

Разделим на $\sin^2 x$:
Мы можем поделить обе части уравнения на $\sin^2 x$ (при условии, что $\sin x \neq 0$), чтобы упростить уравнение.

$$\frac{\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{\cos x}{\sin x} = 0$$ $$1 + \operatorname{ctg} x = 0$$ $$\operatorname{ctg} x = -1$$

Теперь, зная, что $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tg x}$, получаем:

$$\tg x = -1$$

Решение для $\tg x = -1$:
Известно, что $\tg \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$. Следовательно, одно из решений:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Другие возможные решения:
Также возможно, что $\sin x = 0$, поскольку это условие удовлетворяет исходному уравнению. В таком случае:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n$$

Ответ:
Таким образом, решения:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \pi n$$

б)

Задача:

$$\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 0$$

Разделим на $\cos^2 x$:
Для того чтобы избавиться от тригонометрического произведения $\sin x \cdot \cos x$, поделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Это упростится до:

$$\sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} + 1 = 0$$ $$\sqrt{3} \tg x + 1 = 0$$ $$\sqrt{3} \tg x = -1$$ $$\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Решение для $\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$:
Зная, что $\tg \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

Другие возможные решения:
Также возможно, что $\cos x = 0$, поскольку это условие удовлетворяет исходному уравнению. В таком случае:

$$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ:
Таким образом, решения:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

в)

Задача:

$$\sin^2 x = 3 \sin x \cdot \cos x$$

Разделим на $\sin^2 x$:
Поделим обе части уравнения на $\sin^2 x$ (при условии, что $\sin x \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{3 \sin x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$$

Это упростится до:

$$1 = 3 \operatorname{ctg} x$$ $$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{3}$$

Так как $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tg x}$, то:

$$\tg x = 3$$

Решение для $\tg x = 3$:
Зная, что $\tg \left( \arctg 3 \right) = 3$, получаем:

$$x = \arctg 3 + \pi n$$

Другие возможные решения:
Также возможно, что $\sin x = 0$, поскольку это условие удовлетворяет исходному уравнению. В таком случае:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n$$

Ответ:
Таким образом, решения:

$$x = \arctg 3 + \pi n; \quad x = \pi n$$

г)

Задача:

$$\sqrt{3} \cos^2 x = \sin x \cdot \cos x$$

Разделим на $\cos^2 x$:
Поделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sqrt{3} \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x}$$

Это упростится до:

$$\sqrt{3} = \tg x$$

Решение для $\tg x = \sqrt{3}$:
Зная, что $\tg \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}$, получаем:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Другие возможные решения:
Также возможно, что $\cos x = 0$, поскольку это условие удовлетворяет исходному уравнению. В таком случае:

$$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ:
Таким образом, решения:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Общий итог:

а) $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi n$
б) $-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n$
в) $\arctg 3 + \pi n; \pi n$
г) $\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n$