ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $${}^{}$$б)$$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $${}^{}$$в)$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $${}^{}$$$-\arctg 2 + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n.$г)$$3{\sin }^{3}x+\sin x\cdot \cos x-2{\cos }^{2}x=0$$

а)

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg^2 x + 2 \tg x — 3 = 0;$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 + 2y — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\tg x = -3;$$ $$x = -\arctg 3 + \pi n;$$

Второе значение:

$$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $-\arctg 3 + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n.$

б)

$$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg^2 x — 4 \tg x + 3 = 0;$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 — 4y + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\tg x = 3;$$ $$x = \arctg 3 + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg 3 + \pi n.$

в)

$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\tg x = -2;$$ $$x = -\arctg 2 + \pi n;$$

Второе значение:

$$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $-\arctg 2 + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n.$

г)

$$3 \sin^3 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$3 \tg^2 x + \tg x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \tg x$, тогда:

$$3y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};$$

Первое значение:

$$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\tg x = \frac{2}{3};$$ $$x = \arctg \frac{2}{3} + \pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg \frac{2}{3} + \pi n.$

а)

Задача:

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Разделение на $\cos^2 x$

Для упрощения уравнения поделим обе части на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Используем тригонометрические тождества $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tg^2 x$ и $\frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$, чтобы преобразовать выражение:

$$\tg^2 x + 2 \tg x — 3 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Мы получаем квадратное уравнение относительно $\tg x$:

$$\tg^2 x + 2 \tg x — 3 = 0$$

Решаем это уравнение методом выделения корней.

Пусть $y = \tg x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Шаг 3: Обратные функции для значений $y_1$ и $y_2$

Для $y_1 = -3$:

$$\tg x = -3$$

Из этого получаем:

$$x = -\arctg 3 + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Для $y_2 = 1$:

$$\tg x = 1$$

Из этого получаем:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ для (а):

$$-\arctg 3 + \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n$$

б)

Задача:

$$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Разделение на $\cos^2 x$

Поделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — \frac{4 \sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Используем те же тригонометрические тождества:

$$\tg^2 x — 4 \tg x + 3 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы получаем квадратное уравнение:

$$\tg^2 x — 4 \tg x + 3 = 0$$

Решаем это уравнение методом выделения корней.

Пусть $y = \tg x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Шаг 3: Обратные функции для значений $y_1$ и $y_2$

Для $y_1 = 1$:

$$\tg x = 1$$

Из этого получаем:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для $y_2 = 3$:

$$\tg x = 3$$

Из этого получаем:

$$x = \arctg 3 + \pi n$$

Ответ для (б):

$$\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad \arctg 3 + \pi n$$

в)

Задача:

$$\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Разделение на $\cos^2 x$

Поделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

Используем те же тригонометрические тождества:

$$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь получаем квадратное уравнение:

$$\tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Решаем это уравнение методом выделения корней.

Пусть $y = \tg x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 + y — 2 = 0$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 — 3}{2} = -2$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 3: Обратные функции для значений $y_1$ и $y_2$

Для $y_1 = -2$:

$$\tg x = -2$$

Из этого получаем:

$$x = -\arctg 2 + \pi n$$

Для $y_2 = 1$:

$$\tg x = 1$$

Из этого получаем:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ для (в):

$$-\arctg 2 + \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n$$

г)

Задача:

$$3 \sin^3 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Разделение на $\cos^2 x$

Поделим обе части уравнения на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{3 \sin^3 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — 2 = 0$$

Используем тригонометрические тождества:

$$3 \tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь получаем квадратное уравнение:

$$3 \tg^2 x + \tg x — 2 = 0$$

Решаем это уравнение методом выделения корней.

Пусть $y = \tg x$. Тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 + y — 2 = 0$$

Находим дискриминант $D$:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 — 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Шаг 3: Обратные функции для значений $y_1$ и $y_2$

Для $y_1 = -1$:

$$\tg x = -1$$

Из этого получаем:

$$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Для $y_2 = \frac{2}{3}$:

$$\tg x = \frac{2}{3}$$

Из этого получаем:

$$x = \arctg \frac{2}{3} + \pi n$$

Ответ для (г):

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad \arctg \frac{2}{3} + \pi n$$