ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\sin 2x=\cos 2x$$

б)$$\sqrt{3}\sin 3x=\cos 3x$$

в)$$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$$

г)$$\sqrt{2}\sin 17x=\sqrt{6}\cos 17x$$

а)

$$\sin 2x = \cos 2x \quad | : \cos 2x;$$ $$\tg 2x = 1;$$ $$2x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

$$\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x \quad | : \cos 3x;$$ $$\sqrt{3} \tg 3x = 1;$$ $$\tg 3x = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$3x = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}}$$

в)

$$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} \quad | : \cos \frac{x}{2};$$ $$\tg \frac{x}{2} = \sqrt{3};$$ $$\frac{x}{2} = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = 2 \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$$

г)

$$\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x \quad | : \cos 17x;$$ $$\sqrt{2} \tg 17x = \sqrt{6};$$ $$\tg 17x = \sqrt{3};$$ $$17x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{17} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}}$$

а)

Задача:

$$\sin 2x = \cos 2x$$

Шаг 1: Разделение на $\cos 2x$

Для того чтобы избавиться от тригонометрического произведения, поделим обе части уравнения на $\cos 2x$ (при условии, что $\cos 2x \neq 0$):

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\cos 2x}{\cos 2x}$$

Используем тождество $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tg 2x$, и получаем:

$$\tg 2x = 1$$

Шаг 2: Решение для $\tg 2x = 1$

Известно, что $\tg \frac{\pi}{4} = 1$. Таким образом, одно из решений будет:

$$2x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку тангенс имеет период $\pi$.

Шаг 3: Решение для $x$

Теперь, чтобы найти $x$, поделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для (а):

$$\boxed{\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

Задача:

$$\sqrt{3} \sin 3x = \cos 3x$$

Шаг 1: Разделение на $\cos 3x$

Для того чтобы упростить уравнение, поделим обе части на $\cos 3x$ (при условии, что $\cos 3x \neq 0$):

$$\frac{\sqrt{3} \sin 3x}{\cos 3x} = \frac{\cos 3x}{\cos 3x}$$

Используем тождество $\frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tg 3x$, и получаем:

$$\sqrt{3} \tg 3x = 1$$

Шаг 2: Решение для $\tg 3x$

Теперь выразим $\tg 3x$:

$$\tg 3x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Известно, что $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Таким образом, одно из решений будет:

$$3x = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 3: Решение для $x$

Теперь поделим обе части уравнения на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ для (б):

$$\boxed{\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}}$$

в)

Задача:

$$\sin \frac{x}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 1: Разделение на $\cos \frac{x}{2}$

Поделим обе части уравнения на $\cos \frac{x}{2}$ (при условии, что $\cos \frac{x}{2} \neq 0$):

$$\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{3} \cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$$

Используем тождество $\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \tg \frac{x}{2}$, и получаем:

$$\tg \frac{x}{2} = \sqrt{3}$$

Шаг 2: Решение для $\tg \frac{x}{2} = \sqrt{3}$

Известно, что $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Таким образом, одно из решений будет:

$$\frac{x}{2} = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3: Решение для $x$

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

$$x = 2 \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ для (в):

$$\boxed{\frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$$

г)

Задача:

$$\sqrt{2} \sin 17x = \sqrt{6} \cos 17x$$

Шаг 1: Разделение на $\cos 17x$

Поделим обе части уравнения на $\cos 17x$ (при условии, что $\cos 17x \neq 0$):

$$\frac{\sqrt{2} \sin 17x}{\cos 17x} = \frac{\sqrt{6} \cos 17x}{\cos 17x}$$

Используем тождество $\frac{\sin 17x}{\cos 17x} = \tg 17x$, и получаем:

$$\sqrt{2} \tg 17x = \sqrt{6}$$

Шаг 2: Решение для $\tg 17x$

Теперь выразим $\tg 17x$:

$$\tg 17x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$$

Известно, что $\tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Таким образом, одно из решений будет:

$$17x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 3: Решение для $x$

Теперь поделим обе части уравнения на 17:

$$x = \frac{1}{17} \left( \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}$$

Ответ для (г):

$$\boxed{\frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}}$$

Общий итог:

а) $\boxed{\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}}$

б) $\boxed{\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}}$

в) $\boxed{\frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$

г) $\boxed{\frac{\pi}{51} + \frac{\pi n}{17}}$