ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2{\sin }^{2}2x-5\sin 2x\cdot \cos 2x+2{\cos }^{2}2x=0$

б) $3{\sin }^{2}3x+10\sin 3x\cdot \cos 3x+3{\cos }^{2}3x=0$

а) $2 \sin^2 2x — 5 \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0 \quad | : \cos^2 2x$;

Пусть $y = \tg 2x$, тогда:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Первое значение:

$$\tg 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \arctg \frac{1}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе значение:

$$\tg 2x = 2;$$ $$2x = \arctg 2 + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}; \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}}$$

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cdot \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0 \quad | : \cos^2 3x$;

Пусть $y = \tg 3x$, тогда:

$$3y^2 + 10y + 3 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3;$$ $$y_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\tg 3x = -3;$$ $$3x = -\arctg 3 + \pi n;$$ $$x = -\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\tg 3x = -\frac{1}{3};$$ $$3x = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n;$$ $$x = -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3}; -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}}$$

а) $2 \sin^2 2x — 5 \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0 \quad | : \cos^2 2x$

Шаг 1: Упростим выражение.

Начнем с того, что у нас есть тригонометрическое уравнение:

$$2 \sin^2 2x — 5 \sin 2x \cdot \cos 2x + 2 \cos^2 2x = 0$$

Для упрощения поделим обе части уравнения на $\cos^2 2x$ (предполагаем, что $\cos 2x \neq 0$):

$$\frac{2 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} — 5 \frac{\sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos^2 2x} + \frac{2 \cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 0$$

Используем тригонометрические преобразования:

• $\frac{\sin^2 2x}{\cos^2 2x} = \tan^2 2x$
• $\frac{\sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos^2 2x} = \sin 2x \cdot \tan 2x$
• $\frac{\cos^2 2x}{\cos^2 2x} = 1$

Таким образом, уравнение превращается в следующее:

$$2 \tan^2 2x — 5 \tan 2x + 2 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $y = \tan 2x$:

$$2y^2 — 5y + 2 = 0$$

Для решения этого уравнения используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

В данном случае:

• $a = 2$
• $b = -5$
• $c = 2$

Сначала находим дискриминант $D$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Теперь вычисляем корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 3: Нахождение значений $x$.

Теперь найдем $x$ для каждого из корней.

Первый корень $y_1 = \frac{1}{2}$:

$$\tan 2x = \frac{1}{2}$$

Для того чтобы найти $x$, используем арктангенс:

$$2x = \arctg \frac{1}{2} + \pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Отсюда:

$$x = \frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$$

Второй корень $y_2 = 2$:

$$\tan 2x = 2$$

Для нахождения $x$:

$$2x = \arctg 2 + \pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Отсюда:

$$x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ для части а:

$$\boxed{\frac{1}{2} \arctg \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}; \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}}$$

б) $3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cdot \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0 \quad | : \cos^2 3x$

Шаг 1: Упростим выражение.

Уравнение:

$$3 \sin^2 3x + 10 \sin 3x \cdot \cos 3x + 3 \cos^2 3x = 0$$

Опять же, делим обе части на $\cos^2 3x$ (предполагаем, что $\cos 3x \neq 0$):

$$\frac{3 \sin^2 3x}{\cos^2 3x} + 10 \frac{\sin 3x \cdot \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{3 \cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$$

Используем тригонометрические преобразования:

• $\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} = \tan^2 3x$
• $\frac{\sin 3x \cdot \cos 3x}{\cos^2 3x} = \sin 3x \cdot \tan 3x$
• $\frac{\cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 1$

Тогда уравнение примет вид:

$$3 \tan^2 3x + 10 \tan 3x + 3 = 0$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения.

Теперь решаем квадратное уравнение относительно $y = \tan 3x$:

$$3y^2 + 10y + 3 = 0$$

Для нахождения корней используем ту же формулу:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

В данном случае:

• $a = 3$
• $b = 10$
• $c = 3$

Сначала находим дискриминант $D$:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$

Теперь вычисляем корни:

$$y_1 = \frac{-10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 — 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ $$y_2 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 3: Нахождение значений $x$.

Первый корень $y_1 = -3$:

$$\tan 3x = -3$$

Для нахождения $x$:

$$3x = -\arctg 3 + \pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Отсюда:

$$x = -\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3}$$

Второй корень $y_2 = -\frac{1}{3}$:

$$\tan 3x = -\frac{1}{3}$$

Для нахождения $x$:

$$3x = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Отсюда:

$$x = -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ для части б:

$$\boxed{-\frac{1}{3} \arctg 3 + \frac{\pi n}{3}; -\frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi n}{3}}$$