ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${\sin }^2\frac{x}{2}=3{\cos }^2\frac{x}{2}$

б) ${\sin }^{2}4x={\cos }^{2}4x$

а) $\sin^2 \frac{x}{2} = 3 \cos^2 \frac{x}{2} \quad | : \cos^2 \frac{x}{2};$

$\tg^2 \frac{x}{2} = 3;$

$\tg \frac{x}{2} = \pm \sqrt{3};$

$\frac{x}{2} = \pm \arctg \sqrt{3} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$

$x = 2 \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$

б) $\sin^2 4x = \cos^2 4x \quad | : \cos^2 4x;$

$\tg^2 4x = 1;$

$\tg 4x = \pm 1;$

$4x = \pm \arctg 1 + \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n;$

$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}.$

а) $\sin^2 \frac{x}{2} = 3 \cos^2 \frac{x}{2} \quad | : \cos^2 \frac{x}{2}$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos^2 \frac{x}{2}$

Итак, у нас есть уравнение:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = 3 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Мы делим обе стороны на $\cos^2 \frac{x}{2}$ (при этом предполагаем, что $\cos \frac{x}{2} \neq 0$):

$$\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = 3$$

Это можно записать как:

$$\tan^2 \frac{x}{2} = 3$$

Шаг 2: Найдем значение $\tan \frac{x}{2}$

Чтобы найти $\tan \frac{x}{2}$, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$\tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{3}$$

Здесь мы получили два возможных значения для тангенса.

Шаг 3: Найдем $x$

Теперь нам нужно решить уравнение для $x$.

$$\tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{3}$$

Для этого используем арктангенс, который дает решения вида:

$$\frac{x}{2} = \pm \arctg \sqrt{3} + \pi n$$

Мы знаем, что $\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, поэтому у нас получается:

$$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Теперь умножаем обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$$x = 2 \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right)$$

Распишем это:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ для части а:

$$\boxed{\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}$$

б) $\sin^2 4x = \cos^2 4x \quad | : \cos^2 4x$

Шаг 1: Разделим обе части уравнения на $\cos^2 4x$

У нас есть уравнение:

$$\sin^2 4x = \cos^2 4x$$

Делим обе части на $\cos^2 4x$, при этом предполагаем, что $\cos 4x \neq 0$:

$$\frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} = 1$$

Это выражение можно записать как:

$$\tan^2 4x = 1$$

Шаг 2: Найдем значение $\tan 4x$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$\tan 4x = \pm 1$$

Шаг 3: Найдем $x$

Теперь решаем уравнение для $x$:

$$\tan 4x = \pm 1$$

Для этого используем арктангенс, который дает решения вида:

$$4x = \pm \arctg 1 + \pi n$$

Мы знаем, что $\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$, поэтому у нас получается:

$$4x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Теперь делим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$:

$$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{4} + \pi n \right)$$

Распишем это:

$$x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ для части б:

$$\boxed{\pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}}$$

Итоговые ответы:

Часть а: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Часть б: $\pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$