ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 \cos^2 x = 5$;

б) $2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 4$

а) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 \cos^2 x = 5$;

$5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 \cos^2 x = 5 \sin^2 x + 5 \cos^2 x$;

$\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$;

$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$;

$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1$;

$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$;

$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$;

Одно из решений:

$\cos x = 0$;

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n$.

б) $2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 4$;

$2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 4 \sin^2 x + 4 \cos^2 x$;

$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \sin^2 x$;

$2 + 3 \operatorname{ctg} x = 0$;

$3 \operatorname{ctg} x = -2$;

$\operatorname{ctg} x = -\frac{2}{3}$;

$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$;

$x = -\operatorname{arctg} 1,5 + \pi n$;

Одно из решений:

$\sin x = 0$;

$x = \pi n$;

Ответ: $-\operatorname{arctg} 1,5 + \pi n; \pi n$.

а) $5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 \cos^2 x = 5$

Переносим 5 на правую часть:

$$5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 \cos^2 x = 5$$

Упростим уравнение, вычитая 5 с обеих сторон:

$$5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 \cos^2 x — 5 = 0$$

Используем тригонометрические тождества:

Мы видим, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, поэтому можно попытаться привести подобные слагаемые, выражая $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$. Для этого перепишем уравнение:

$$5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 (1 — \sin^2 x) = 5$$

Упростим:

Раскроем скобки:

$$5 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 — 6 \sin^2 x = 5$$

Сократим подобные слагаемые:

$$(5 \sin^2 x — 6 \sin^2 x) + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 = 5$$

Получаем:

$$-\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 6 = 5$$

Переносим 5 на правую часть:

$$-\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x + 1 = 0$$

Переносим $\cos^2 x$ на правую часть:

$$-\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cdot \cos x = 0$$

Разделим на $\cos^2 x$, и получаем:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x + 1 = 0$$

Решаем относительно тангенса:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Это означает, что:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

Одно из решений:

Также мы можем рассмотреть случай, когда $\cos x = 0$, поскольку $\cos x = 0$ может быть решением для уравнений с переменной $x$. Тогда:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Таким образом, получаем два типа решений:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ для пункта а):

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

б) $2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 4$

Переносим 4 на правую часть:

$$2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 4$$

Вычитаем 4 с обеих сторон:

$$2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x — 4 = 0$$

Упростим это выражение:

$$2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x — 4 = 0$$

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

Преобразуем уравнение:

$$2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 (1 — \sin^2 x) — 4 = 0$$

Раскрываем скобки:

$$2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x + 4 — 4 \sin^2 x — 4 = 0$$

Упростим:

$$(2 \sin^2 x — 4 \sin^2 x) — 3 \sin x \cdot \cos x = 0$$ $$-2 \sin^2 x — 3 \sin x \cdot \cos x = 0$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x (-2 \sin x — 3 \cos x) = 0$$

Решения для $\sin x = 0$:

Если $\sin x = 0$, то:

$$x = \pi n$$

Решаем для $-2 \sin x — 3 \cos x = 0$:

Перепишем уравнение:

$$-2 \sin x = 3 \cos x \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{3}{2}$$

Это означает:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{2}$$

Таким образом:

$$x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{2} + \pi n$$

Ответ для пункта б):

$$x = -\operatorname{arctg} 1.5 + \pi n; \quad x = \pi n$$