ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $6 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$;

б) $2 \cos^2 3x — 5 \cos 3x — 3 = 0$;

в) $2 \cos^2 x — \cos x — 3 = 0$;

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} — 2 = 0$

а) $6 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$6y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};$$

Первое значение:

$$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{1}{3};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n.$

б) $2 \cos^2 3x — 5 \cos 3x — 3 = 0$;

Пусть $y = \cos 3x$, тогда:

$$2y^2 — 5y — 3 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3;$$

Первое значение:

$$\cos 3x = -\frac{1}{2};$$ $$3x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$3x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\cos 3x = 3 — \text{корней нет; }$$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}.$

в) $2 \cos^2 x — \cos x — 3 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 — y — 3 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1;$$ $$y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};$$

Первое значение:

$$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = \frac{3}{2} — \text{корней нет; }$$

Ответ: $\pi + 2\pi n.$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} — 2 = 0$;

Пусть $y = \cos \frac{x}{3}$, тогда:

$$2y^2 + 3y — 2 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2;$$ $$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\cos \frac{x}{3} = -2 — \text{корней нет; }$$

Второе значение:

$$\cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \pm \pi + 6\pi n;$$

Ответ: $\pm \pi + 6\pi n.$

а) $6 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Данное уравнение $6 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0$ является квадратным относительно $\cos x$. Для удобства введём замену:

$$y = \cos x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$6y^2 + y — 1 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Чтобы решить квадратное уравнение, применим формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

для уравнения $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 6$, $b = 1$, $c = -1$. Подставляем значения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$

Теперь найдём корни уравнения с помощью формул:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = 1$, $D = 25$, $a = 6$:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Таким образом, корни уравнения:

$$y_1 = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1}{3}$$

Решение для $y_1 = -\frac{1}{2}$:

Мы возвращаемся к переменной $\cos x$. Для первого значения:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Мы знаем, что $\cos x = -\frac{1}{2}$ имеет два решения на одном периоде $[0, 2\pi]$:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Таким образом, решения для этого значения:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Решение для $y_2 = \frac{1}{3}$:

Для второго значения:

$$\cos x = \frac{1}{3}$$

Используем обратную тригонометрическую функцию для нахождения решения:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Здесь $\arccos \frac{1}{3}$ не даёт простого значения, поэтому оставляем его в виде выражения. Решение для этого значения:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Ответ для части а):

$$\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi n$$

б) $2 \cos^2 3x — 5 \cos 3x — 3 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Пусть:

$$y = \cos 3x$$

Тогда уравнение преобразуется в:

$$2y^2 — 5y — 3 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Применим формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

для уравнения $2y^2 — 5y — 3 = 0$, где $a = 2$, $b = -5$, $c = -3$. Подставляем значения:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = 3$$

Решение для $y_1 = -\frac{1}{2}$:

Подставляем $\cos 3x = -\frac{1}{2}$:

$$3x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$3x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Разделим обе стороны на 3, чтобы найти $x$:

$$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$$

Таким образом, для этого значения:

$$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$$

Решение для $y_2 = 3$:

Для $\cos 3x = 3$ решение не существует, так как $\cos 3x$ не может быть больше 1.

Ответ для части б):

$$\pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$$

в) $2 \cos^2 x — \cos x — 3 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Пусть:

$$y = \cos x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2y^2 — y — 3 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Применим формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

для уравнения $2y^2 — y — 3 = 0$, где $a = 2$, $b = -1$, $c = -3$. Подставляем значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = -1, \quad y_2 = \frac{3}{2}$$

Решение для $y_1 = -1$:

Подставляем $\cos x = -1$:

$$x = \pi + 2\pi n$$

Решение для $y_2 = \frac{3}{2}$:

Для $\cos x = \frac{3}{2}$ решение не существует, так как $\cos x$ не может быть больше 1.

Ответ для части в):

$$\pi + 2\pi n$$

г) $2 \cos^2 \frac{x}{3} + 3 \cos \frac{x}{3} — 2 = 0$;

Преобразуем уравнение:

Пусть:

$$y = \cos \frac{x}{3}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Применим формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac$$

для уравнения $2y^2 + 3y — 2 = 0$, где $a = 2$, $b = 3$, $c = -2$. Подставляем значения:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Решение для $y_1 = -2$:

Для $\cos \frac{x}{3} = -2$ решение не существует, так как $\cos x$ не может быть меньше -1.

Решение для $y_2 = \frac{1}{2}$:

Подставляем $\cos \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$:

$$\frac{x}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Умножаем обе стороны на 3, чтобы найти $x$:

$$x = \pm \pi + 6\pi n$$

Ответ для части г):

$$\pm \pi + 6\pi n$$