ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x$

б) $2 \sin^2 4x — 4 = 3 \sin 4x \cdot \cos 4x — 4 \cos^2 4x$

а) $3 \sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x$;

$3 \sin^2 2x — 2 \sin^2 2x — 2 \cos^2 2x = \sin 2x \cdot \cos 2x$;

$\sin^2 2x — \sin 2x \cdot \cos 2x — 2 \cos^2 2x = 0 \quad | : \cos^2 2x$;

$\operatorname{tg}^2 2x — \operatorname{tg} 2x — 2 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} 2x$, тогда:

$y^2 — y — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

Первое значение:

$\operatorname{tg} 2x = -1$;

$2x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе значение:

$\operatorname{tg} 2x = 2$;

$2x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$.

б) $2 \sin^2 4x — 4 = 3 \sin 4x \cdot \cos 4x — 4 \cos^2 4x$;

$2 \sin^2 4x — 4 \sin^2 4x — 4 \cos^2 4x = 3 \sin 4x \cdot \cos 4x — 4 \cos^2 4x$;

$2 \sin^2 4x + 3 \sin 4x \cdot \cos 4x = 0 \quad | : \sin^2 4x$;

$2 + 3 \operatorname{ctg} 4x = 0$;

$3 \operatorname{ctg} 4x = -2$;

$\operatorname{ctg} 4x = -\frac{2}{3}$;

$\operatorname{tg} 4x = -\frac{3}{2}$;

$4x = -\operatorname{arctg} 1,5 + \pi n$;

$x = -\frac{1}{4} \operatorname{arctg} 1,5 + \frac{\pi n}{4}$;

Одно из решений:

$\sin 4x = 0$;

$4x = \pi n$;

$x = \frac{\pi n}{4}$;

Ответ: $-\frac{1}{4} \operatorname{arctg} 1,5 + \frac{\pi n}{4}; \frac{\pi n}{4}$.

а) $3 \sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x$

Исходное уравнение:

$$3 \sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Переносим все члены на одну сторону:

Переносим $\sin 2x \cdot \cos 2x$ с правой части на левую, а 2 — на правую часть уравнения:

$$3 \sin^2 2x — \sin 2x \cdot \cos 2x — 2 = 0$$

Применяем тригонометрическое тождество для выражения $\cos^2 2x$:

Заменим $\cos^2 2x$ через $1 — \sin^2 2x$ (по основному тождеству тригонометрии), но в данном случае, более удобно работать с тангенсом. Мы делим обе стороны на $\cos^2 2x$ для удобства, так как на правой стороне у нас появляется произведение с $\cos 2x$.

Делим обе части на $\cos^2 2x$:

Разделим все члены на $\cos^2 2x$, чтобы избавиться от косинуса в произведении:

$$\frac{3 \sin^2 2x}{\cos^2 2x} — \frac{\sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos^2 2x} — \frac{2}{\cos^2 2x} = 0$$

Так как $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \operatorname{tg} 2x$, получаем:

$$3 \operatorname{tg}^2 2x — \operatorname{tg} 2x — 2 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg} 2x$. Пусть $y = \operatorname{tg} 2x$, тогда у нас получается следующее уравнение:

$$y^2 — y — 2 = 0$$

Вычисляем дискриминант:

Для квадратного уравнения $y^2 — y — 2 = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Находим корни уравнения:

Корни уравнения можно найти по формуле для квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Решаем для первого значения $y_1 = -1$:

Если $\operatorname{tg} 2x = -1$, то:

$$2x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Делим обе части на 2:

$$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Решаем для второго значения $y_2 = 2$:

Если $\operatorname{tg} 2x = 2$, то:

$$2x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

Таким образом, получаем два типа решений:

$$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$$

б) $2 \sin^2 4x — 4 = 3 \sin 4x \cdot \cos 4x — 4 \cos^2 4x$

Исходное уравнение:

$$2 \sin^2 4x — 4 = 3 \sin 4x \cdot \cos 4x — 4 \cos^2 4x$$

Переносим все члены на одну сторону:

Переносим все члены на одну сторону, включая $-4 \cos^2 4x$ и $-4$ с левой части на правую:

$$2 \sin^2 4x — 4 \sin^2 4x — 4 \cos^2 4x = 3 \sin 4x \cdot \cos 4x — 4 \cos^2 4x$$

Используем тригонометрические тождества:

Заменим $\cos^2 4x$ через $1 — \sin^2 4x$, но проще использовать тангенс и делить обе части на $\sin^2 4x$. Делим обе стороны на $\sin^2 4x$:

$$\frac{2 \sin^2 4x}{\sin^2 4x} + \frac{3 \sin 4x \cdot \cos 4x}{\sin^2 4x} = 0$$

Получаем:

$$2 + 3 \operatorname{ctg} 4x = 0$$

Решаем для $\operatorname{ctg} 4x$:

Переносим 2 на правую часть:

$$3 \operatorname{ctg} 4x = -2$$

Разделим обе части на 3:

$$\operatorname{ctg} 4x = -\frac{2}{3}$$

Теперь мы можем выразить тангенс:

$$\operatorname{tg} 4x = -\frac{3}{2}$$

Находим $x$:

Используем арктангенс:

$$4x = -\operatorname{arctg} 1.5 + \pi n$$

Делим обе части на 4:

$$x = -\frac{1}{4} \operatorname{arctg} 1.5 + \frac{\pi n}{4}$$

Одно из решений:

Рассматриваем случай, когда $\sin 4x = 0$, то есть $4x = \pi n$. Это дает решение:

$$x = \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

Таким образом, получаем два типа решений:

$$x = -\frac{1}{4} \operatorname{arctg} 1.5 + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi n}{4}$$

$$x = -\frac{1}{4} \operatorname{arctg} 1.5 + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi n}{4}$$