ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2};$

б) $3{\sin }^2\frac{x}{3}+4{\cos }^2\frac{x}{3}=3+\sqrt{3}\sin \frac{x}{3}\cdot \cos \frac{x}{3}$$$

а) $4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2};$
$\mathrm{}$$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2};$
$\sin^2 \frac{x}{2} — 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{2};$
$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 2 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 3 = 0;$

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, тогда:
$y^2 — 2y — 3 = 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$
$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$

Первое значение:
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -1;$
$\frac{x}{2} = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Второе значение:
$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 3;$
$\frac{x}{2} = \arctg 3 + \pi n;$
$x = 2 \arctg 3 + 2\pi n;$

Ответ:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \quad 2 \arctg 3 + 2\pi n.$

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3};$
$\mathrm{}$$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 \sin^2 \frac{x}{3} + 3 \cos^2 \frac{x}{3} + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3};$
$\cos^2 \frac{x}{3} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 0 \quad | : \cos^2 \frac{x}{3};$
$1 — \sqrt{3} \operatorname{tg} \frac{x}{3} = 0;$
$\sqrt{3} \operatorname{tg} \frac{x}{3} = 1;$
$\operatorname{tg} \frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}};$
$\frac{x}{3} = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$
$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n;$

Одно из решений:
$\cos \frac{x}{3} = 0;$
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n;$

Ответ:
$\frac{\pi}{2} + 3\pi n; \quad \frac{3\pi}{2} + 3\pi n.$

а) $4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$

Исходное уравнение:

$$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Это уравнение с тригонометрическими функциями, которое можно решить с использованием тождеств и преобразований.

Переносим все члены на одну сторону:

Переносим все члены на одну сторону уравнения, вычитая $2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$ с правой стороны:

$$4 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Мы видим, что у нас есть произведение синуса и косинуса, которое можно заменить через тангенс.

Используем тригонометрические тождества:

Напоминаем, что $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. Попробуем использовать это тождество для упрощения выражений, но прежде чем делать это, разделим все члены на $\cos^2 \frac{x}{2}$ (с учетом того, что $\cos^2 \frac{x}{2}$ не равно 0).

Делим обе части на $\cos^2 \frac{x}{2}$:

$$\frac{4 \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} — \frac{3 \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} — \frac{3 \cos^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}$$

После деления, где $\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, получаем:

$$4 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 3 = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{2}$$

Это уравнение можно упростить, сделав замену.

Упрощаем уравнение:

Преобразуем выражение:

$$(4 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 3 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}) = 2 \operatorname{tg} \frac{x}{2} + 3$$

Упростим его:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 2 \operatorname{tg} \frac{x}{2} — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Пусть $y = \operatorname{tg} \frac{x}{2}$. Тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$y^2 — 2y — 3 = 0$$

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Находим корни уравнения:

Корни уравнения по формуле:

$$y_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Таким образом, получаем два значения для $y$.

Решение для первого значения $y_1 = -1$:

Если $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = -1$, то:

$$\frac{x}{2} = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Умножаем обе части на 2:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Решение для второго значения $y_2 = 3$:

Если $\operatorname{tg} \frac{x}{2} = 3$, то:

$$\frac{x}{2} = \arctg 3 + \pi n$$

Умножаем обе части на 2:

$$x = 2 \arctg 3 + 2\pi n$$

Ответ:

Таким образом, окончательные решения для $x$ следующие:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = 2 \arctg 3 + 2\pi n$$

б) $3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$

Исходное уравнение:

$$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$$

Это уравнение также можно решить с помощью тригонометрических преобразований и замены на тангенс.

Переносим все члены на одну сторону:

$$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 \cos^2 \frac{x}{3} — 3 — \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 0$$

Используем тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:

Применим это тождество для упрощения выражений. После преобразования и упрощения, получаем:

$$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 (1 — \sin^2 \frac{x}{3}) = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$3 \sin^2 \frac{x}{3} + 4 — 4 \sin^2 \frac{x}{3} = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$$ $$-\sin^2 \frac{x}{3} + 4 = 3 + \sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}$$

Делим на $\cos^2 \frac{x}{3}$:

Делим обе части уравнения на $\cos^2 \frac{x}{3}$, чтобы использовать тангенс:

$$\frac{-\sin^2 \frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}} + \frac{4}{\cos^2 \frac{x}{3}} = \frac{3}{\cos^2 \frac{x}{3}} + \frac{\sqrt{3} \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3}}{\cos^2 \frac{x}{3}}$$

Это даёт нам уравнение:

$$1 — \sqrt{3} \operatorname{tg} \frac{x}{3} = 0$$

Решение для $\operatorname{tg} \frac{x}{3}$:

Переносим 1 на правую часть:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} \frac{x}{3} = 1$$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Находим $x$:

Это выражение означает:

$$\frac{x}{3} = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Умножаем обе части на 3:

$$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$$

Одно из решений:

Рассматриваем случай, когда $\cos \frac{x}{3} = 0$. Это даёт:

$$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Умножаем обе части на 3:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$$

Ответ:

Таким образом, получаем два типа решений:

$$x=\frac{\pi }{2}+3\pi n,x=\frac{3\pi }{2}+3\pi n$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$$