ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) ${\sin }^{2}x-5\cos x=\sin x\cdot \cos x-5\sin x$

б) ${\cos }^{2}x-7\sin x+\sin x\cdot \cos x=7\cos x$

a)

$$\sin^2 x — 5 \cos x = \sin x \cdot \cos x — 5 \sin x;$$ $$\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5 \sin x — 5 \cos x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\sin x — \cos x) + 5 (\sin x — \cos x) = 0;$$ $$(\sin x + 5)(\sin x — \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x + 5 = 0;$$ $$\sin x = -5 \quad \text{— корней нет};$$

Второе уравнение:

$$\sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x — 1 = 0;$$ $$\tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \pi n}.$$

б)

$$\cos^2 x — 7 \sin x + \sin x \cdot \cos x = 7 \cos x;$$ $$\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x — 7 \cos x — 7 \sin x = 0;$$ $$\cos x \cdot (\cos x + \sin x) — 7 (\cos x + \sin x) = 0;$$ $$(\cos x — 7)(\cos x + \sin x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x — 7 = 0;$$ $$\cos x = 7 \quad \text{— корней нет};$$

Второе уравнение:

$$\cos x + \sin x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$1 + \tg x = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{4} + \pi n}.$$

а) $\sin^2 x — 5 \cos x = \sin x \cdot \cos x — 5 \sin x$

Исходное уравнение:

$$\sin^2 x — 5 \cos x = \sin x \cdot \cos x — 5 \sin x$$

Это тригонометрическое уравнение. Важно заметить, что здесь присутствуют и $\sin x$, и $\cos x$, поэтому, для упрощения, постараемся выразить все через $\sin x$ и $\cos x$.

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

Переносим все слагаемые на левую сторону, чтобы уравнение стало равным 0:

$$\sin^2 x — 5 \cos x — \sin x \cdot \cos x + 5 \sin x = 0$$

Группировка слагаемых:

Группируем слагаемые с $\sin x$ и с $\cos x$:

$$\sin x \cdot (\sin x — \cos x) + 5 (\sin x — \cos x) = 0$$

Мы видим, что $\sin x — \cos x$ встречается дважды, поэтому можно вынести его за скобки.

Вынесем общий множитель:

Вынесем $(\sin x — \cos x)$ за скобки:

$$(\sin x — \cos x)(\sin x + 5) = 0$$

Решение для первого уравнения:

Решаем первое уравнение:

$$\sin x + 5 = 0$$

Переносим 5 на правую часть:

$$\sin x = -5$$

Однако, $\sin x$ не может быть больше 1 или меньше -1 (пределы значений синуса), поэтому это уравнение не имеет решений.

Решение для второго уравнения:

Теперь решаем второе уравнение:

$$\sin x — \cos x = 0$$

Разделим обе стороны на $\cos x$ (предположим, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$$

Это означает:

$$\tan x = 1$$

Тангенс равен 1 при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ для пункта а:

Таким образом, единственное решение для $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{4} + \pi n}$

б) $\cos^2 x — 7 \sin x + \sin x \cdot \cos x = 7 \cos x$

Исходное уравнение:

$$\cos^2 x — 7 \sin x + \sin x \cdot \cos x = 7 \cos x$$

В этом уравнении также присутствуют и $\sin x$, и $\cos x$, поэтому, как и в предыдущем случае, будем упрощать его, приводя к удобной форме.

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

Переносим все слагаемые на левую часть:

$$\cos^2 x + \sin x \cdot \cos x — 7 \cos x — 7 \sin x = 0$$

Группировка слагаемых:

Группируем слагаемые с $\cos x$:

$$\cos x \cdot (\cos x + \sin x) — 7 (\cos x + \sin x) = 0$$

Здесь тоже можно вынести $(\cos x + \sin x)$ как общий множитель.

Вынесем общий множитель:

Вынесем $(\cos x + \sin x)$ за скобки:

$$(\cos x + \sin x)(\cos x — 7) = 0$$

Решение для первого уравнения:

Решаем первое уравнение:

$$\cos x — 7 = 0$$

Переносим 7 на правую часть:

$$\cos x = 7$$

Однако, $\cos x$ не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому это уравнение не имеет решений.

Решение для второго уравнения:

Теперь решаем второе уравнение:

$$\cos x + \sin x = 0$$

Разделим обе стороны на $\cos x$ (предположим, что $\cos x \neq 0$):

$$1 + \tan x = 0$$

Это означает:

$$\tan x = -1$$

Тангенс равен -1 при $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ для пункта б:

Таким образом, единственное решение для $x$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ: $\boxed{-\frac{\pi}{4} + \pi n}$

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$