ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin^6 x + \sin^4 x \cdot \cos^2 x = \sin^3 x \cdot \cos^3 x + \sin x \cdot \cos^5 x$;

б) $\sin^2 x \cdot \cos^2 x — 10 \sin x \cdot \cos^3 x + 21 \cos^4 x = 0$

а) $\sin^6 x + \sin^4 x \cdot \cos^2 x = \sin^3 x \cdot \cos^3 x + \sin x \cdot \cos^5 x$;

Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos x$, тогда:

$$a^6 + a^4 b^2 = a^3 b^3 + ab^5;$$ $$a^6 — a^3 b^3 + a^4 b^2 — ab^5 = 0;$$ $$a^3 (a^3 — b^3) + ab^2 (a^3 — b^3) = 0;$$ $$(a^3 + ab^2)(a^3 — b^3) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin^3 x + \sin x \cdot \cos^2 x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0;$$ $$\sin x = 0;$$ $$x = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin^3 x — \cos^3 x = 0 \quad | : \cos^3 x;$$ $$\operatorname{tg}^3 x — 1 = 0;$$ $$\operatorname{tg}^3 x = 1;$$ $$\operatorname{tg} x = 1;$$ $$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n$.

б) $\sin^2 x \cdot \cos^2 x — 10 \sin x \cdot \cos^3 x + 21 \cos^4 x = 0$;

$$\cos^2 x \cdot (\sin^2 x — 10 \sin x \cdot \cos x + 21 \cos^2 x) = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\operatorname{tg}^2 x — 10 \operatorname{tg} x + 21 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 10y + 21 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 21 = 100 — 84 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{10 — 4}{2} = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{10 + 4}{2} = 7;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg} x = 3;$$ $$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n;$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg} x = 7;$$ $$x = \operatorname{arctg} 7 + \pi n;$$

Одно из решений:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\operatorname{arctg} 3 + \pi n; \operatorname{arctg} 7 + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n$.

а) $\sin^6 x + \sin^4 x \cdot \cos^2 x = \sin^3 x \cdot \cos^3 x + \sin x \cdot \cos^5 x$.

Шаг 1: Замена переменных.

Для удобства решим задачу, введя следующие обозначения:

• Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos x$.
  Тогда уравнение принимает вид:

$$a^6 + a^4 b^2 = a^3 b^3 + ab^5.$$

Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону.

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

$$a^6 + a^4 b^2 — a^3 b^3 — ab^5 = 0.$$

Шаг 3: Группировка и выделение общего множителя.

Мы видим, что в каждом из первых двух слагаемых есть общий множитель $a^3$, а в последних двух — общий множитель $ab^2$. Разложим уравнение на два множителя:

$$a^3 (a^3 — b^3) + ab^2 (a^3 — b^3) = 0.$$

Шаг 4: Вынесение общего множителя.

Теперь вынесем общий множитель $(a^3 — b^3)$ за скобки:

$$(a^3 + ab^2)(a^3 — b^3) = 0.$$

Получаем два возможных уравнения:

$$a^3 + ab^2 = 0 \quad \text{или} \quad a^3 — b^3 = 0.$$

Шаг 5: Рассмотрение двух случаев.

Первый случай: $a^3 + ab^2 = 0$.

$$a (a^2 + b^2) = 0.$$

Поскольку $a = \sin x$ и $b = \cos x$, то выражение $a^2 + b^2 = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а значит:

$$a = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = 0.$$

Решение этого уравнения:

$$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Второй случай: $a^3 — b^3 = 0$.

$$a^3 = b^3 \quad \Rightarrow \quad \sin^3 x = \cos^3 x.$$

Делим обе части уравнения на $\cos^3 x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$):

$$\left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg}^3 x = 1.$$

Отсюда получаем:

$$\operatorname{tg} x = 1.$$

Решением этого уравнения является:

$$x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ для пункта (а):

$$x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) $\sin^2 x \cdot \cos^2 x — 10 \sin x \cdot \cos^3 x + 21 \cos^4 x = 0$.

Шаг 1: Вынесение общего множителя.

Обратим внимание, что все члены содержат $\cos^2 x$. Вынесем этот множитель за скобки:

$$\cos^2 x \cdot (\sin^2 x — 10 \sin x \cdot \cos x + 21 \cos^2 x) = 0.$$

Поскольку $\cos^2 x = 0$ даст решение $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то рассмотрим выражение в скобках:

$$\sin^2 x — 10 \sin x \cdot \cos x + 21 \cos^2 x = 0.$$

Шаг 2: Замена переменной.

Для упрощения решим уравнение с помощью тангенса. Пусть $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, тогда $\sin x = y \cdot \cos x$. Подставим это в исходное уравнение:

$$\cos^2 x \cdot (y^2 \cos^2 x — 10 y \cos^2 x + 21 \cos^2 x) = 0,$$

и, разделив на $\cos^2 x$, получаем:

$$y^2 — 10y + 21 = 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.

Решим это квадратное уравнение по формуле:

$$y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 84}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = \frac{10 + 4}{2} = 7, \quad y_2 = \frac{10 — 4}{2} = 3.$$

Шаг 4: Решение для каждого значения $y$.

Если $\operatorname{tg} x = 3$, то:

$$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n.$$

Если $\operatorname{tg} x = 7$, то:

$$x = \operatorname{arctg} 7 + \pi n.$$

Шаг 5: Дополнительное решение для $\cos x = 0$.

Также у нас есть решение, когда $\cos x = 0$. В этом случае:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Ответ для пункта (б):

$$x = \operatorname{arctg} 3 + \pi n; \operatorname{arctg} 7 + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n.$$