ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos^6 x + \sin^6 x = \frac{7}{16}$;

б) $\cos^{-4} \frac{x}{2} \cdot (2 \sin^4 \frac{x}{2} — 1) = 2$

а) $\cos^6 x + \sin^6 x = \frac{7}{16}$;

$$(\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^4 x — \sin^2 x \cdot \cos^2 x + \sin^4 x) = \frac{7}{16};$$ $$\cos^4 x — \sin^2 x \cdot \cos^2 x + \sin^4 x = \frac{7}{16};$$ $$\cos^4 x — (1 — \cos^2 x) \cdot \cos^2 x + (1 — \cos^2 x)^2 = \frac{7}{16};$$ $$\cos^4 x — \cos^2 x + \cos^4 x + 1 — 2 \cos^2 x + \cos^4 x = \frac{7}{16};$$ $$3 \cos^4 x — 3 \cos^2 x + \frac{9}{16} = 0;$$

Пусть $y = \cos^2 x$, тогда:

$$3y^2 — 3y + \frac{9}{16} = 0 \quad \left| \cdot \frac{16}{3} \right.;$$ $$16y^2 — 16y + 3 = 0;$$ $$D = 16^2 — 4 \cdot 16 \cdot 3 = 256 — 192 = 64;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{16 — 8}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4};$$ $$y_2 = \frac{16 + 8}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4};$$

Первое значение:

$$\cos^2 x = \frac{1}{4};$$ $$1 — \sin^2 x = \frac{1}{4};$$ $$\sin^2 x = \frac{3}{4};$$ $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\cos^2 x = \frac{3}{4};$$ $$1 — \sin^2 x = \frac{3}{4};$$ $$\sin^2 x = \frac{1}{4};$$ $$\sin x = \pm \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $\cos^{-4} \frac{x}{2} \cdot (2 \sin^4 \frac{x}{2} — 1) = 2$;

$$2 \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — \frac{1}{\cos^4 \frac{x}{2}} = 2;$$ $$2 \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — (1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2})^2 = 2;$$ $$2 \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — 1 — 2 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} = 2;$$ $$\operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — 2 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 3 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}$, тогда:

$$y^2 — 2y — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = -1 \quad \text{— корней нет};$$

Второе значение:

$$\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = 3;$$ $$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{3};$$ $$\frac{x}{2} = \pm \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

а) $\cos^6 x + \sin^6 x = \frac{7}{16}$.

Шаг 1: Используем формулу разложения кубов.

Для упрощения выражения $\cos^6 x + \sin^6 x$, используем известную формулу для разложения суммы кубов:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2).$$

Подставим $a = \cos^2 x$ и $b = \sin^2 x$:

$$\cos^6 x + \sin^6 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)((\cos^2 x)^2 — \cos^2 x \cdot \sin^2 x + (\sin^2 x)^2).$$

Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, то выражение упрощается до:

$$\cos^6 x + \sin^6 x = \cos^4 x — \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x.$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\cos^4 x — \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x = \frac{7}{16}.$$

Шаг 2: Замена $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$.

Далее, используем формулу для $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$. Подставим это в уравнение:

$$\cos^4 x — \cos^2 x (1 — \cos^2 x) + (1 — \cos^2 x)^2 = \frac{7}{16}.$$

Шаг 3: Раскрытие скобок.

Раскроем скобки:

$$\cos^4 x — \cos^2 x + \cos^4 x + 1 — 2 \cos^2 x + \cos^4 x = \frac{7}{16}.$$

Упростим выражение:

$$3 \cos^4 x — 3 \cos^2 x + 1 = \frac{7}{16}.$$

Шаг 4: Перенос всех членов на одну сторону.

Переносим все члены на одну сторону:

$$3 \cos^4 x — 3 \cos^2 x + 1 — \frac{7}{16} = 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$3 \cos^4 x — 3 \cos^2 x + \frac{16}{16} — \frac{7}{16} = 0,$$ $$3 \cos^4 x — 3 \cos^2 x + \frac{9}{16} = 0.$$

Шаг 5: Вводим новую переменную.

Пусть $y = \cos^2 x$. Тогда уравнение примет вид:

$$3y^2 — 3y + \frac{9}{16} = 0.$$

Для удобства умножим обе части на 16, чтобы избавиться от дробей:

$$16 \cdot 3y^2 — 16 \cdot 3y + 9 = 0,$$ $$48y^2 — 48y + 9 = 0.$$

Шаг 6: Решение квадратного уравнения.

Решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта. Для уравнения $Ay^2 + By + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC.$$

В нашем случае $A = 48$, $B = -48$, $C = 9$:

$$D = (-48)^2 — 4 \cdot 48 \cdot 9 = 2304 — 1728 = 576.$$

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

$$y_1 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A}, \quad y_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-(-48) — \sqrt{576}}{2 \cdot 48} = \frac{48 — 24}{96} = \frac{24}{96} = \frac{1}{4},$$ $$y_2 = \frac{-(-48) + \sqrt{576}}{2 \cdot 48} = \frac{48 + 24}{96} = \frac{72}{96} = \frac{3}{4}.$$

Шаг 7: Решение для $\cos^2 x$.

Теперь находим значения для $\cos^2 x$:

1. $\cos^2 x = \frac{1}{4}$.
2. $\cos^2 x = \frac{3}{4}$.

Шаг 8: Решение для $\sin^2 x$.

Для $\cos^2 x = \frac{1}{4}$:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4},$$ $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда:

$$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Для $\cos^2 x = \frac{3}{4}$:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4},$$ $$\sin x = \pm \frac{1}{2}.$$

Тогда:

$$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ для пункта (а):

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}.$$

б) $\cos^{-4} \frac{x}{2} \cdot (2 \sin^4 \frac{x}{2} — 1) = 2$.

Шаг 1: Перепишем уравнение.

Перепишем уравнение в виде:

$$2 \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — \frac{1}{\cos^4 \frac{x}{2}} = 2.$$

Шаг 2: Преобразуем через $\operatorname{tg}$.

Используем известное соотношение $\operatorname{tg}^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$. Тогда можно преобразовать уравнение:

$$2 \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — (1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2})^2 = 2.$$

Шаг 3: Раскроем скобки.

Раскроем скобки:

$$2 \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — 1 — 2 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — \operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} = 2.$$

Упростим:

$$\operatorname{tg}^4 \frac{x}{2} — 2 \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} — 3 = 0.$$

Шаг 4: Вводим новую переменную.

Пусть $y = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 2y — 3 = 0.$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $Ay^2 + By + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = B^2 — 4AC.$$

В нашем случае $A = 1$, $B = -2$, $C = -3$:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3.$$

Шаг 6: Решение для $\operatorname{tg}$.

1. $\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = -1$ — корней нет.
2. $\operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = 3$, то:

$$\operatorname{tg} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{3}.$$

Тогда:

$$\frac{x}{2} = \pm \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Таким образом:

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта (б):

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$