ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\{\begin{array}{l}2\sin x-5\cos y=7\\ 5\sin x+\cos y=4\end{array}$$

б)$$\{\begin{array}{l}5\sin 2x+3\cos 3y=1\\ 8\sin 2x-6\cos 3y=7\end{array}$$

а)

$$\begin{cases} 2 \sin x — 5 \cos y = 7 \\ 5 \sin x + \cos y = 4 \end{cases}$$

Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$, тогда:

$$\begin{cases} 2a — 5b = 7 \\ 5a + b = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a — 5b = 7 \\ b = 4 — 5a \end{cases}$$ $$2a — 5(4 — 5a) = 7;$$ $$2a — 20 + 25a = 7;$$ $$27a = 27;$$ $$a = 1;$$ $$b = 4 — 5 \cdot 1 = -1;$$

Первое значение:

$$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos y = -1;$$ $$y = \pi + 2\pi k;$$

Ответ: $\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi k \right)$.

б)

$$\begin{cases} 5 \sin 2x + 3 \cos 3y = 1 \\ 8 \sin 2x — 6 \cos 3y = 7 \end{cases}$$

Пусть $a = \sin 2x$ и $b = \cos 3y$, тогда:

$$\begin{cases} 5a + 3b = 1 \\ 8a — 6b = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3b = 1 — 5a \\ 8a — 6b = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = \frac{1 — 5a}{3} \\ 8a — 6b = 7 \end{cases}$$ $$8a — 6 \cdot \frac{1 — 5a}{3} = 7;$$ $$8a — 2 + 10a = 7;$$ $$18a = 9;$$ $$a = \frac{1}{2};$$ $$b = \frac{1 — 5 \cdot 0.5}{3} = \frac{1 — 2.5}{3} = \frac{-1.5}{3} = -\frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\sin 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе значение:

$$\cos 3y = -\frac{1}{2};$$ $$3y = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi k = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$y = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3};$$

Ответ: $\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} \right)$.

а)

$$\begin{cases} 2 \sin x — 5 \cos y = 7 \\ 5 \sin x + \cos y = 4 \end{cases}$$

Шаг 1: Введение новых переменных.

Для упрощения решения, введем новые переменные:

• Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$.
  Тогда система уравнений принимает вид:

$$\begin{cases} 2a — 5b = 7 \\ 5a + b = 4 \end{cases}$$

Шаг 2: Извлечение $b$ из второго уравнения.

Из второго уравнения $5a + b = 4$ выразим $b$ через $a$:

$$b = 4 — 5a$$

Шаг 3: Подстановка во первое уравнение.

Теперь подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое уравнение $2a — 5b = 7$:

$$2a — 5(4 — 5a) = 7$$

Шаг 4: Раскрытие скобок.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$2a — 5 \cdot 4 + 5 \cdot 5a = 7$$ $$2a — 20 + 25a = 7$$

Шаг 5: Перенос всех членов на одну сторону.

Теперь собираем все переменные с $a$ и числа на одной стороне:

$$27a — 20 = 7$$

Шаг 6: Решение для $a$.

Преобразуем уравнение:

$$27a = 27$$ $$a = \frac{27}{27} = 1$$

Шаг 7: Решение для $b$.

Теперь, зная $a = 1$, подставим это значение в выражение для $b$:

$$b = 4 — 5 \cdot 1 = 4 — 5 = -1$$

Шаг 8: Найдем значения для $x$ и $y$.

Для $a = 1$ и $a = \sin x$, получаем:

$$\sin x = 1$$

Решением этого уравнения является:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Для $b = -1$ и $b = \cos y$, получаем:

$$\cos y = -1$$

Решением этого уравнения является:

$$y = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта (а):

$$\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi + 2\pi k \right), \quad n, k \in \mathbb{Z}.$$

б)

$$\begin{cases} 5 \sin 2x + 3 \cos 3y = 1 \\ 8 \sin 2x — 6 \cos 3y = 7 \end{cases}$$

Шаг 1: Введение новых переменных.

Для упрощения задачи введем новые переменные:

• Пусть $a = \sin 2x$ и $b = \cos 3y$.
  Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases} 5a + 3b = 1 \\ 8a — 6b = 7 \end{cases}$$

Шаг 2: Выражение $b$ через $a$.

Из первого уравнения $5a + 3b = 1$ выразим $b$ через $a$:

$$3b = 1 — 5a \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1 — 5a}{3}$$

Шаг 3: Подстановка во второе уравнение.

Теперь подставим $b = \frac{1 — 5a}{3}$ во второе уравнение $8a — 6b = 7$:

$$8a — 6 \cdot \frac{1 — 5a}{3} = 7$$

Шаг 4: Раскрытие скобок и упрощение.

Раскроем скобки и упростим:

$$8a — 2 + 10a = 7$$

Теперь соберем все переменные с $a$ на одной стороне:

$$18a = 9$$

Шаг 5: Решение для $a$.

Решим для $a$:

$$a = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$

Шаг 6: Найдем $b$.

Теперь подставим $a = \frac{1}{2}$ в выражение для $b$:

$$b = \frac{1 — 5 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{1 — 2.5}{3} = \frac{-1.5}{3} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 7: Найдем значения для $x$ и $y$.

Для $a = \frac{1}{2}$, то $\sin 2x = \frac{1}{2}$. Решаем для $x$:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}$$

Это уравнение имеет следующие решения:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Для $b = -\frac{1}{2}$, то $\cos 3y = -\frac{1}{2}$. Решаем для $y$:

$$\cos 3y = -\frac{1}{2}$$

Это уравнение имеет решения:

$$3y = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi k = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$ $$y = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$$

Ответ для пункта (б):

$$\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}; \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} \right), \quad n, k \in \mathbb{Z}.$$