ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\{\begin{array}{l}\sin x+\cos y=-\frac{1}{2}\\ \sin x\cdot \cos y=-\frac{1}{2}\end{array}$

б) $\left\{\begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} — \cos 2y = 1 \\ 2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos 2y = 2 \end{array}\right.$

а) $\begin{cases} \sin x + \cos y = -\frac{1}{2}; \\ \sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2} \end{cases}$

Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$, тогда:

$$\begin{cases} a + b = -\frac{1}{2} \Rightarrow \begin{cases} a + b + \frac{1}{2} = 0 \\ b = -\frac{1}{2a} \end{cases}; \\ a \cdot b = -\frac{1}{2} \end{cases}$$ $$a — \frac{1}{2a} + \frac{1}{2} = 0 \quad | \cdot 2a;$$ $$2a^2 + a — 1 = 0;$$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$$a_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$b_1 = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad b_2 = -\frac{1}{2 \cdot 0,5} = -1;$$

Первая пара значений:

$$\sin x = -1;$$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$\cos y = \frac{1}{2};$$ $$y = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k;$$

Вторая пара значений:

$$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$\cos y = -1;$$ $$y = \pi + 2\pi k;$$

Ответ: $\left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right); \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + 2\pi k \right)$.

б) $\left\{\begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} — \cos 2y = 1 \\ 2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos 2y = 2 \end{array}\right.$;

Пусть $a = \sin \frac{x}{2}$ и $b = \cos 2y$, тогда:

$$\begin{cases} a — b = 1 \\ 2a^2 — 3b = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = a — 1 \\ 2a^2 — 3(a — 1) — 2 = 0; \end{cases}$$ $$2a^2 — 3a + 1 = 0;$$

$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:

$$a_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$ $$b_1 = \frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad b_2 = 1 — 1 = 0;$$

Первая пара значений:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$\cos 2y = -\frac{1}{2};$$ $$2y = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi k = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$y = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k;$$

Вторая пара значений:

$$\sin \frac{x}{2} = 1;$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \pi + 4\pi n;$$ $$\cos 2y = 0;$$ $$2y = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2};$$

Ответ: $\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \right); \left( \pi + 4\pi n; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \right)$.

Часть а)

Задача:

$$\begin{cases} \sin x + \cos y = -\frac{1}{2} \\ \sin x \cdot \cos y = -\frac{1}{2} \end{cases}$$

1. Обозначим:

Пусть $a = \sin x$ и $b = \cos y$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} a + b = -\frac{1}{2} \\ a \cdot b = -\frac{1}{2} \end{cases}$$

2. Решим систему:

Из первого уравнения:

$$a + b = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{1}{2} — a$$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:

$$a \cdot \left(-\frac{1}{2} — a \right) = -\frac{1}{2}$$

Распишем это уравнение:

$$a \cdot \left(-\frac{1}{2} — a \right) = -\frac{a}{2} — a^2$$

Теперь приравняем это выражение к $-\frac{1}{2}$:

$$-\frac{a}{2} — a^2 = -\frac{1}{2}$$

Добавим $\frac{a}{2}$ и $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения:

$$-a^2 = \frac{a}{2} \quad \Rightarrow \quad 2a^2 + a — 1 = 0$$

3. Решим квадратное уравнение:

Для уравнения $2a^2 + a — 1 = 0$ вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Теперь найдем корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$a_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

4. Найдем значения $b$:

Теперь подставим найденные значения $a$ в выражение для $b$:

Для $a_1 = -1$:

$$b_1 = -\frac{1}{2} — (-1) = \frac{1}{2}$$

Для $a_2 = \frac{1}{2}$:

$$b_2 = -\frac{1}{2} — \frac{1}{2} = -1$$

5. Первая пара значений:

Теперь найдем значения для $x$ и $y$, используя найденные значения $a$ и $b$.

Для $a_1 = -1$ и $b_1 = \frac{1}{2}$:

$$\sin x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$\cos y = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad y = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

Таким образом, первая пара значений:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{и} \quad y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

6. Вторая пара значений:

Для $a_2 = \frac{1}{2}$ и $b_2 = -1$:

$$\sin x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$\cos y = -1 \quad \Rightarrow \quad y = \pi + 2\pi k$$

Таким образом, вторая пара значений:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{и} \quad y = \pi + 2\pi k$$

Ответ для части а:

$$\left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right) \quad \text{и} \quad \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + 2\pi k \right)$$

Часть б)

Задача:

$$\left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{x}{2} — \cos 2y = 1 \\ 2 \sin^2 \frac{x}{2} — 3 \cos 2y = 2 \end{array} \right.$$

1. Обозначим:

Пусть $a = \sin \frac{x}{2}$ и $b = \cos 2y$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} a — b = 1 \\ 2a^2 — 3b = 2 \end{cases}$$

2. Решим систему:

Из первого уравнения:

$$a — b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = a — 1$$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:

$$2a^2 — 3(a — 1) = 2$$

Распишем это уравнение:

$$2a^2 — 3a + 3 = 2$$

Переносим все в одну сторону:

$$2a^2 — 3a + 1 = 0$$

3. Решим квадратное уравнение:

Для уравнения $2a^2 — 3a + 1 = 0$ вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Теперь найдем корни уравнения:

$$a_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$a_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$

4. Найдем значения $b$:

Теперь подставим найденные значения $a$ в выражение для $b$:

Для $a_1 = \frac{1}{2}$:

$$b_1 = \frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2}$$

Для $a_2 = 1$:

$$b_2 = 1 — 1 = 0$$

5. Первая пара значений:

Теперь найдем значения для $x$ и $y$, используя найденные значения $a$ и $b$.

Для $a_1 = \frac{1}{2}$ и $b_1 = -\frac{1}{2}$:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ $$\cos 2y = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 2y = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi k = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$ $$y = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$$

Таким образом, первая пара значений:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad y = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$$

6. Вторая пара значений:

Для $a_2 = 1$ и $b_2 = 0$:

$$\sin \frac{x}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 4\pi n$$ $$\cos 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2y = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \Rightarrow \quad y = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$$

Таким образом, вторая пара значений:

$$x = \pi + 4\pi n \quad \text{и} \quad y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$$

Ответ для части б:

$$\left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \right) \quad \text{и} \quad \left( \pi + 4\pi n; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \right)$$