ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $| \cos x | = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x$;

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 | \sin x |$

а) $\mathrm{}$$| \cos x | = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x$;

Если $\cos x > 0$, тогда:

$$\cos x = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x;$$ $$\cos x — \sqrt{3} \sin x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$1 — \sqrt{3} \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = 1;$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6} + \pi (2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$\left( \cos \frac{\pi}{6} > 0, \; \cos \frac{7\pi}{6} < 0 \right);$$

Если $\cos x < 0$, тогда:

$$-\cos x = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x;$$ $$3 \cos x — \sqrt{3} \sin x = 0 \quad | : \sqrt{3} \cos x;$$ $$\sqrt{3} — \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = \sqrt{3};$$ $$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi (2k) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$\left( \cos \frac{\pi}{3} > 0, \; \cos \frac{4\pi}{3} < 0 \right);$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k.}$$

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 | \sin x |$;

Если $\sin x > 0$, тогда:

$$\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x;$$ $$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3};$$ $$x = -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi (2k) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi (2k+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k;$$ $$\left( \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) < 0, \; \sin \frac{2\pi}{3} > 0 \right);$$

Если $\sin x < 0$, тогда:

$$\sin x = \sqrt{3} \cos x — 2 \sin x;$$ $$3 \sin x — \sqrt{3} \cos x = 0 \quad | : \sqrt{3} \cos x;$$ $$\sqrt{3} \operatorname{tg} x — 1 = 0;$$ $$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = 1;$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x_1 = \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$x_2 = \frac{\pi}{6} + \pi (2k+1) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k;$$ $$\left( \sin \frac{\pi}{6} > 0, \; \sin \frac{7\pi}{6} < 0 \right);$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k.}$$

а) $| \cos x | = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x$;

Мы решаем уравнение $| \cos x | = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x$ с учетом двух случаев: когда $\cos x > 0$ и когда $\cos x < 0$.

1) Если $\cos x > 0$

В этом случае $| \cos x | = \cos x$, и уравнение принимает вид:

$$\cos x = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x$$

Переносим все слагаемые с $\cos x$ в одну сторону:

$$\cos x — 2 \cos x = — \sqrt{3} \sin x$$

Упрощаем:

$$— \cos x = — \sqrt{3} \sin x$$ $$\cos x = \sqrt{3} \sin x$$

Делим обе стороны на $\cos x$ (учитывая, что $\cos x \neq 0$):

$$1 = \sqrt{3} \operatorname{tg} x$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Теперь, учитывая, что $\cos x > 0$, мы ищем те значения $x$, для которых $\cos x$ положительное. Для этого подставим $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

• Для $n = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{6}$, для которого $\cos \frac{\pi}{6} > 0$.
• Для $n = 1$ получаем $x_2 = \frac{7\pi}{6}$, для которого $\cos \frac{7\pi}{6} < 0$.

Таким образом, для $\cos x > 0$ решения уравнения:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2) Если $\cos x < 0$

В этом случае $| \cos x | = -\cos x$, и уравнение становится:

$$— \cos x = 2 \cos x — \sqrt{3} \sin x$$

Переносим все слагаемые с $\cos x$ в одну сторону:

$$— \cos x — 2 \cos x = — \sqrt{3} \sin x$$ $$— 3 \cos x = — \sqrt{3} \sin x$$ $$3 \cos x = \sqrt{3} \sin x$$

Делим обе стороны на $\cos x$ (учитывая, что $\cos x \neq 0$):

$$3 = \sqrt{3} \operatorname{tg} x$$ $$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$$

Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, поэтому:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Теперь, учитывая, что $\cos x < 0$, мы ищем те значения $x$, для которых $\cos x$ отрицательное. Для этого подставим $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

• Для $n = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{3}$, для которого $\cos \frac{\pi}{3} > 0$.
• Для $n = 1$ получаем $x_2 = \frac{4\pi}{3}$, для которого $\cos \frac{4\pi}{3} < 0$.

Таким образом, для $\cos x < 0$ решения уравнения:

$$x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта (а):

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$$

б) $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 | \sin x |$;

Мы решаем уравнение $\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 | \sin x |$ с учетом двух случаев: когда $\sin x > 0$ и когда $\sin x < 0$.

1) Если $\sin x > 0$

В этом случае $| \sin x | = \sin x$, и уравнение принимает вид:

$$\sin x = \sqrt{3} \cos x + 2 \sin x$$

Переносим все слагаемые с $\sin x$ в одну сторону:

$$\sin x — 2 \sin x = \sqrt{3} \cos x$$ $$— \sin x = \sqrt{3} \cos x$$ $$\sin x = — \sqrt{3} \cos x$$

Делим обе стороны на $\cos x$ (учитывая, что $\cos x \neq 0$):

$$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$$

Известно, что $\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$, поэтому:

$$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Теперь, учитывая, что $\sin x > 0$, мы ищем те значения $x$, для которых $\sin x$ положительное. Для этого подставим $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

• Для $n = 0$ получаем $x_1 = \frac{2\pi}{3}$, для которого $\sin \frac{2\pi}{3} > 0$.
• Для $n = 1$ получаем $x_2 = \frac{5\pi}{3}$, для которого $\sin \frac{5\pi}{3} < 0$.

Таким образом, для $\sin x > 0$ решения уравнения:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2) Если $\sin x < 0$

В этом случае $| \sin x | = -\sin x$, и уравнение становится:

$$\sin x = \sqrt{3} \cos x — 2 \sin x$$

Переносим все слагаемые с $\sin x$ в одну сторону:

$$\sin x + 2 \sin x = \sqrt{3} \cos x$$ $$3 \sin x = \sqrt{3} \cos x$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3} \cos x$$

Делим обе стороны на $\cos x$ (учитывая, что $\cos x \neq 0$):

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, поэтому:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Теперь, учитывая, что $\sin x < 0$, мы ищем те значения $x$, для которых $\sin x$ отрицательное. Для этого подставим $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

• Для $n = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{6}$, для которого $\sin \frac{\pi}{6} > 0$.
• Для $n = 1$ получаем $x_2 = \frac{7\pi}{6}$, для которого $\sin \frac{7\pi}{6} < 0$.

Таким образом, для $\sin x < 0$ решения уравнения:

$$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ для пункта (б):

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$$