ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\frac{\sin x+\cos x}{\cos 2x}=0;$$

б)$$\mathrm{ctg}x+\frac{\sin x}{1+\cos x}=2;$$

в)$$\frac{{\cos }^{2}x+\cos x}{\sin x}=0;$$

г)$$\frac{\mathrm{tg}x}{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=\cos x$$

а)

$$\frac{\sin x + \cos x}{\cos 2x} = 0;$$ $$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\tg x + 1 = 0;$$ $$\tg x = -1;$$ $$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 2x \neq 0;$$ $$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: корней нет.

б)

$$\ctg x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2;$$ $$\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2;$$ $$\frac{\cos x \cdot (1 + \cos x) + \sin x \cdot \sin x}{\sin x \cdot (1 + \cos x)} = 2;$$ $$\frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cdot (1 + \cos x)} = 2;$$ $$\frac{\cos x + 1}{\sin x \cdot (1 + \cos x)} = 2;$$ $$\frac{1}{\sin x} = 2;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 + \cos x \neq 0;$$ $$\cos x \neq -1;$$ $$x \neq \pi + \pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

в)

$$\frac{\cos^2 x + \cos x}{\sin x} = 0;$$ $$\cos^2 x + \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (\cos x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos x + 1 = 0;$$ $$\cos x = -1;$$ $$x = \pi + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

г)

$$\frac{\tg x}{1 + \tg^2 x} = \cos x;$$ $$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x;$$ $$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \cos x;$$ $$\sin x \cdot \cos x — \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (\sin x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x — 1 = 0;$$ $$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: корней нет.

а)

$$\frac{\sin x + \cos x}{\cos 2x} = 0;$$

Мы начинаем с того, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю). Поэтому решим:

$$\sin x + \cos x = 0$$

Из этого уравнения выразим $\sin x$ через $\cos x$:

$$\sin x = -\cos x$$

Поделим обе стороны на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$$ $$\tan x = -1$$

Теперь, решаем $\tan x = -1$. Это происходит, когда угол $x$ равен $-\frac{\pi}{4}$ плюс целое количество $\pi$ (множители $\pi$ появляются из-за периодичности тангенса):

$$x = -\arctan(1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Теперь, вспомним, что выражение имеет смысл при $\cos 2x \neq 0$. Разберемся, при каких значениях $x$ $\cos 2x = 0$:

$$\cos 2x = 0 \quad \text{при} \quad 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Таким образом, решение $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ не может быть равно $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, так как это приведет к нулю в знаменателе.

Ответ: Корней нет.

б)

$$\ctg x + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2;$$

Начнем с преобразования котангенса:

$$\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 2$$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{\cos x (1 + \cos x) + \sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$$

В числителе у нас выражение $\cos x (1 + \cos x) + \sin^2 x$. Воспользуемся тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, и упростим:

$$\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x = \cos x + 1$$

Таким образом, уравнение превращается в:

$$\frac{\cos x + 1}{\sin x (1 + \cos x)} = 2$$

Сократим $(1 + \cos x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{1}{\sin x} = 2$$

Перепишем уравнение:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решение $x = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, и также для всех $n \in \mathbb{Z}$:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Убедимся, что $\frac{\sin x}{1 + \cos x}$ имеет смысл. Для этого $(1 + \cos x) \neq 0$. При $\cos x = -1$, выражение становится неопределенным. $\cos x = -1$ при:

$$x = \pi + \pi n$$

Таким образом, исключаем из решения эти значения.

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

в)

$$\frac{\cos^2 x + \cos x}{\sin x} = 0;$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

$$\cos^2 x + \cos x = 0$$

Разложим на множители:

$$\cos x (\cos x + 1) = 0$$

Из этого уравнения получаем два случая:

• Первый случай: $\cos x = 0$:

  $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

• Второй случай: $\cos x + 1 = 0$, то есть $\cos x = -1$:

  $$x = \pi + 2\pi n$$

Теперь, выражение имеет смысл, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

г)

$$\frac{\tg x}{1 + \tg^2 x} = \cos x;$$

Используем формулу для тангенса:

$$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x$$

Умножим:

$$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \cos x$$

Сократим $\cos x$ в левой части (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$$\sin x \cdot \cos x — \cos x = 0$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (\sin x — 1) = 0$$

Получаем два случая:

• Первый случай: $\cos x = 0$:

  $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

• Второй случай: $\sin x — 1 = 0$, то есть $\sin x = 1$:

  $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Теперь, выражение имеет смысл при $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ: Корней нет.