ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$

г) $4\sin 3x+{\cos }^{2}3x=4$

а)

$$2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0;$$ $$2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0;$$ $$2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 — 3y — 2 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Первое значение:

$$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = 2 — \text{корней нет};$$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

б)

$$8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0;$$ $$8 — 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0;$$ $$8 \cos^2 2x — \cos 2x — 9 = 0;$$

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:

$$8y^2 — y — 9 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 8 \cdot 9 = 1 + 288 = 289, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 17}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1;$$ $$y_2 = \frac{1 + 17}{2 \cdot 8} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8};$$

Первое значение:

$$\cos 2x = -1;$$ $$2x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\cos 2x = \frac{9}{8} — \text{корней нет;}$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

в)

$$5 \cos^2 x + 6 \sin x — 6 = 0;$$ $$5 — 5 \sin^2 x + 6 \sin x — 6 = 0;$$ $$5 \sin^2 x — 6 \sin x + 1 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$5y^2 — 6y + 1 = 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5};$$ $$y_2 = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1;$$

Первое значение:

$$\sin x = \frac{1}{5};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{5} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x = 1;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{5} + \pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

г)

$$4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4;$$ $$4 \sin 3x + 1 — \sin^2 3x — 4 = 0;$$ $$\sin^2 3x — 4 \sin 3x + 3 = 0;$$

Пусть $y = \sin 3x$, тогда:

$$y^2 — 4y + 3 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\sin 3x = 1;$$ $$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3};$$

Второе значение:

$$\sin 3x = 3 — \text{корней нет;}$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

а) $2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с того, что у нас есть уравнение:

$$2 \sin^2 x + 3 \cos x = 0$$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$, подставим это в уравнение:

$$2(1 — \cos^2 x) + 3 \cos x = 0$$

Упростим выражение:

$$2 — 2 \cos^2 x + 3 \cos x = 0$$

Перепишем уравнение:

$$-2 \cos^2 x + 3 \cos x + 2 = 0$$

Умножим на $-1$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$$2 \cos^2 x — 3 \cos x — 2 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Пусть $y = \cos x$. Тогда у нас получается квадратное уравнение относительно $y$:

$$2y^2 — 3y — 2 = 0$$

Для его решения используем дискриминант $D$, который вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$. Подставляем значения:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Теперь, используя дискриминант, находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Решения для $y_1 = -\frac{1}{2}$:

Мы возвращаемся к $\cos x$, и для $y_1 = -\frac{1}{2}$:

$$\cos x = -\frac{1}{2}$$

Это значение косинуса имеет два решения на интервале $[0, 2\pi]$:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n$$

Мы знаем, что $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, следовательно:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Это два решения для $x$, которые соответствуют значениям на интервале $[0, 2\pi]$.

Решения для $y_2 = 2$:

Для $\cos x = 2$ решений не существует, так как максимальное значение косинуса равно 1. Следовательно:

$$\text{Корней нет для } y_2 = 2$$

Ответ для части а):

$$\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

б) $8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с уравнения:

$$8 \sin^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$$

Используя тождество $\sin^2 2x = 1 — \cos^2 2x$, подставим это в уравнение:

$$8(1 — \cos^2 2x) + \cos 2x + 1 = 0$$

Упростим:

$$8 — 8 \cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$$

Перепишем:

$$8 \cos^2 2x — \cos 2x — 9 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Пусть $y = \cos 2x$. Тогда у нас получается квадратное уравнение относительно $y$:

$$8y^2 — y — 9 = 0$$

Для его решения вычисляем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289$$

Найдём корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 — 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1$$ $$y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$

Решение для $y_1 = -1$:

Для $\cos 2x = -1$ найдём решение:

$$2x = \pi + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Решение для $y_2 = \frac{9}{8}$:

Для $\cos 2x = \frac{9}{8}$ решения не существует, так как косинус не может быть больше 1.

Ответ для части б):

$$\frac{\pi}{2} + \pi n$$

в) $5 \cos^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с уравнения:

$$5 \cos^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, подставляем это в уравнение:

$$5(1 — \sin^2 x) + 6 \sin x — 6 = 0$$

Упростим:

$$5 — 5 \sin^2 x + 6 \sin x — 6 = 0$$

Перепишем:

$$5 \sin^2 x — 6 \sin x + 1 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Пусть $y = \sin x$. Тогда у нас получается квадратное уравнение относительно $y$:

$$5y^2 — 6y + 1 = 0$$

Для его решения вычисляем дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 — 20 = 16$$

Найдём корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 — 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ $$y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Решение для $y_1 = \frac{1}{5}$:

Для $\sin x = \frac{1}{5}$ найдём все значения $x$:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{5} + \pi n$$

Решение для $y_2 = 1$:

Для $\sin x = 1$ найдём все значения $x$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ для части в):

$$(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{5} + \pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

г) $4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$

Преобразование исходного уравнения:

Начнём с уравнения:

$$4 \sin 3x + \cos^2 3x = 4$$

Используем тождество $\cos^2 3x = 1 — \sin^2 3x$, подставляем это в уравнение:

$$4 \sin 3x + 1 — \sin^2 3x = 4$$

Упростим:

$$4 \sin 3x — \sin^2 3x + 1 — 4 = 0$$

Перепишем:

$$\sin^2 3x — 4 \sin 3x + 3 = 0$$

Решение квадратного уравнения:

Пусть $y = \sin 3x$. Тогда у нас получается квадратное уравнение относительно $y$:

$$y^2 — 4y + 3 = 0$$

Для его решения вычисляем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Найдём корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Решение для $y_1 = 1$:

Для $\sin 3x = 1$ найдём все значения $x$:

$$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Решение для $y_2 = 3$:

Для $\sin 3x = 3$ решений нет, так как синус не может быть больше 1.

Ответ для части г):

$$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$