ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)$$\frac{2{\sin }^{2}x-3\sin x+1}{{\cos }^{2}x-\cos x}=0$$

б)$$\frac{4{\sin }^{3}2x-3\sin 2x}{\cos 3x}=0$$

а)

$$\frac{2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1}{\cos^2 x — \cos x} = 0$$

Преобразуем знаменатель:

$$\cos^2 x — \cos x = \cos x (\cos x — 1)$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\frac{2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1}{\cos x (\cos x — 1)} = 0$$

Уравнение равно нулю, если числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю):

$$2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1 = 0$$

Введем замену $y = \sin x$:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Возвращаемся к переменной $x$:

• Первое значение:

  $$\sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

• Второе значение:

  $$\sin x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Определяем области определения:

• Знаменатель $\cos x (\cos x — 1) \neq 0$:

  $$\cos x \neq 0 \quad \text{и} \quad \cos x \neq 1$$ $$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{и} \quad x \neq 2\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

б)

$$\frac{4 \sin^3 2x — 3 \sin 2x}{\cos 3x} = 0$$

Уравнение равно нулю, если числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю):

$$4 \sin^3 2x — 3 \sin 2x = 0$$

Выносим общий множитель:

$$\sin 2x (4 \sin^2 2x — 3) = 0$$

Получаем два уравнения:

• Первое уравнение:

  $$\sin 2x = 0$$ $$2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}$$

• Второе уравнение:

  $$4 \sin^2 2x — 3 = 0$$ $$4 \sin^2 2x = 3$$ $$\sin^2 2x = \frac{3}{4}$$ $$\sin 2x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$2x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Определяем области определения:

• Знаменатель $\cos 3x \neq 0$:

  $$\cos 3x \neq 0$$ $$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi n}{3}}$$

Часть а)

Уравнение:

$$\frac{2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1}{\cos^2 x — \cos x} = 0$$

Шаг 1. Преобразуем знаменатель

Знаменатель в уравнении представляет собой выражение $\cos^2 x — \cos x$. Мы можем его факторизовать, вынеся общий множитель $\cos x$:

$$\cos^2 x — \cos x = \cos x (\cos x — 1)$$

Таким образом, уравнение приобретает следующий вид:

$$\frac{2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1}{\cos x (\cos x — 1)} = 0$$

Шаг 2. Условие для нуля

Уравнение равно нулю, если числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить следующее уравнение:

$$2 \sin^2 x — 3 \sin x + 1 = 0$$

Шаг 3. Вводим замену

Введем замену переменной $y = \sin x$, чтобы упростить квадратное уравнение. Получаем:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта. У нас есть уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 2$, $b = -3$, и $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1$$

Так как дискриминант положительный, у нас два корня.

Теперь найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, у нас два возможных значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = \frac{1}{2}$.

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$

Теперь возвращаемся к исходной переменной $x$, используя найденные значения для $y = \sin x$.

Если $\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число.

Если $\sin x = \frac{1}{2}$:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

где $n$ — целое число. Мы получаем два возможных значения для $x$:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 6. Определяем области определения

Теперь нам нужно учесть области определения исходного выражения. Важно, чтобы знаменатель $\cos x (\cos x — 1)$ не равнялся нулю. То есть:

1. $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
2. $\cos x \neq 1$, что означает $x \neq 2\pi n$.

Таким образом, исключаем значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = 2\pi n$ из найденных решений.

Шаг 7. Ответ

С учетом всех условий, окончательные решения для $x$ будут следующими:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Часть б)

Уравнение:

$$\frac{4 \sin^3 2x — 3 \sin 2x}{\cos 3x} = 0$$

Шаг 1. Условие для нуля

Уравнение равно нулю, если числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить следующее уравнение:

$$4 \sin^3 2x — 3 \sin 2x = 0$$

Шаг 2. Выносим общий множитель

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ из числителя:

$$\sin 2x (4 \sin^2 2x — 3) = 0$$

Теперь у нас два уравнения:

1. $\sin 2x = 0$
2. $4 \sin^2 2x — 3 = 0$

Шаг 3. Решаем первое уравнение

Первое уравнение $\sin 2x = 0$ имеет решение:

$$2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}$$

где $n$ — целое число.

Шаг 4. Решаем второе уравнение

Решим второе уравнение $4 \sin^2 2x — 3 = 0$:

$$4 \sin^2 2x = 3$$ $$\sin^2 2x = \frac{3}{4}$$ $$\sin 2x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь решим для $2x$:

$$2x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Таким образом, $x$ будет равно:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 5. Определяем области определения

Знаменатель $\cos 3x$ не должен равняться нулю, то есть:

$$\cos 3x \neq 0$$ $$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Таким образом, исключаем из решений $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

Шаг 6. Ответ

Окончательные решения для $x$:

$$x = \frac{\pi n}{3}$$