ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для каждого значения а решите уравнение:

а) $\frac{a \sin x — 1}{\sin x + \cos x} = 0$;

б) $\frac{a \cos x — 1}{\sin x — \cos x} = 0$

а) $\frac{a \sin x — 1}{\sin x + \cos x} = 0$;

$a \sin x — 1 = 0$;

$a \sin x = 1$;

$\sin x = \frac{1}{a}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{a} + \pi n$;

Уравнение имеет решения при:

$-1 \leq \frac{1}{a} \leq 1$;

$a \leq -1$ и $a \geq 1$;

Выражение имеет смысл при:

$\sin x + \cos x \neq 0 \quad | : \cos x$;

$\operatorname{tg} x + 1 \neq 0$;

$\operatorname{tg} x \neq -1$;

$x \neq -\operatorname{arctg} 1 + \pi n \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

Если $a = -\sqrt{2}$, тогда:

$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$;

Если $a = \sqrt{2}$, тогда:

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

Ответ:

Нет решений, если $-1 < a < 1$;

$\frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = -\sqrt{2}$; $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = \sqrt{2}$;

$(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{a} + \pi n$, если $a < -\sqrt{2}$, $-\sqrt{2} < a \leq -1$, $1 \leq a < \sqrt{2}$, $a > \sqrt{2}$.

б) $\frac{a \cos x — 1}{\sin x — \cos x} = 0$;

$a \cos x — 1 = 0$;

$a \cos x = 1$;

$\cos x = \frac{1}{a}$;

$x = \pm \arccos \frac{1}{a} + 2\pi n$;

Уравнение имеет решения при:

$-1 \leq \frac{1}{a} \leq 1$;

$a \leq -1$ и $a \geq 1$;

Выражение имеет смысл при:

$\sin x — \cos x \neq 0 \quad | : \cos x$;

$\operatorname{tg} x — 1 \neq 0$;

$\operatorname{tg} x \neq 1$;

$x \neq \operatorname{arctg} 1 + \pi n \neq \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Если $a = -\sqrt{2}$, тогда:

$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;

$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;

Если $a = \sqrt{2}$, тогда:

$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

Ответ:

Нет решений, если $-1 < a < 1$;

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = -\sqrt{2}$; $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = \sqrt{2}$;

$\pm \arccos \frac{1}{a} + 2\pi n$, если $a < -\sqrt{2}$, $-\sqrt{2} < a \leq -1$, $1 \leq a < \sqrt{2}$, $a > \sqrt{2}$.

а) $\frac{a \sin x — 1}{\sin x + \cos x} = 0$

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

Шаг 1. Приведение числителя к нулю

$$\frac{a \sin x — 1}{\sin x + \cos x} = 0 \quad \Rightarrow \quad a \sin x — 1 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$a \sin x = 1$$ $$\sin x = \frac{1}{a}$$

Теперь нам нужно найти значение $x$, которое удовлетворяет этому равенству. Это возможно, если выражение $\frac{1}{a}$ лежит в пределах допустимых значений для функции синуса, то есть:

$$-1 \leq \sin x \leq 1$$

Следовательно, для существования решений:

$$-1 \leq \frac{1}{a} \leq 1$$

Переводим это условие относительно $a$:

$$-1 \leq \frac{1}{a} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad a \leq -1 \text{ или } a \geq 1$$

Шаг 2. Нахождение общего решения

Если $\sin x = \frac{1}{a}$, то решение этого уравнения можно записать как:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{a} + \pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку функция синуса имеет период $2\pi$, а также для каждого значения синуса существует два угла, которые могут его порождать: один в первой или второй четверти, а второй — в третьей или четвертой.

Таким образом, общее решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{a} + \pi n$$

Шаг 3. Условия для знаменателя

Знаменатель дроби $\sin x + \cos x$ не должен равняться нулю, иначе выражение будет неопределенным.

$$\sin x + \cos x \neq 0$$

Разделим на $\cos x$:

$$1 + \operatorname{tg} x \neq 0$$ $$\operatorname{tg} x \neq -1$$

Следовательно, решение будет исключать те $x$, для которых:

$$x \neq — \arctg(1) + \pi n \quad \Rightarrow \quad x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4. Частные случаи

Если $a = -\sqrt{2}$, то:

$$\sin x = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда решение будет:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Это дает два возможных значения для $x$:

$$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$$

Если $a = \sqrt{2}$, то:

$$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Это дает два возможных значения для $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

• Нет решений, если $-1 < a < 1$;
• $\frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = -\sqrt{2}$;
• $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = \sqrt{2}$;
• $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{a} + \pi n$, если $a < -\sqrt{2}$, $-\sqrt{2} < a \leq -1$, $1 \leq a < \sqrt{2}$, $a > \sqrt{2}$.

б) $\frac{a \cos x — 1}{\sin x — \cos x} = 0$

Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.

Шаг 1. Приведение числителя к нулю

$$\frac{a \cos x — 1}{\sin x — \cos x} = 0 \quad \Rightarrow \quad a \cos x — 1 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$a \cos x = 1$$ $$\cos x = \frac{1}{a}$$

Теперь нам нужно найти значение $x$, которое удовлетворяет этому равенству. Это возможно, если выражение $\frac{1}{a}$ лежит в пределах допустимых значений для функции косинуса, то есть:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

Следовательно, для существования решений:

$$-1 \leq \frac{1}{a} \leq 1$$

Переводим это условие относительно $a$:

$$-1 \leq \frac{1}{a} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad a \leq -1 \text{ или } a \geq 1$$

Шаг 2. Нахождение общего решения

Если $\cos x = \frac{1}{a}$, то решение этого уравнения можно записать как:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{a} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, поскольку функция косинуса имеет период $2\pi$, и для каждого значения косинуса существует два угла, которые могут его порождать: один в первой или четвертой четверти, а второй — во второй или третьей.

Таким образом, общее решение будет:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{a} + 2\pi n$$

Шаг 3. Условия для знаменателя

Знаменатель дроби $\sin x — \cos x$ не должен равняться нулю, иначе выражение будет неопределенным.

$$\sin x — \cos x \neq 0$$

Разделим на $\cos x$:

$$\operatorname{tg} x — 1 \neq 0$$ $$\operatorname{tg} x \neq 1$$

Следовательно, решение будет исключать те $x$, для которых:

$$x \neq \operatorname{arctg} 1 + \pi n \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 4. Частные случаи

Если $a = -\sqrt{2}$, то:

$$\cos x = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда решение будет:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Это дает два возможных значения для $x$:

$$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Если $a = \sqrt{2}$, то:

$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда решение будет:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Это дает два возможных значения для $x$:

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Ответ:

• Нет решений, если $-1 < a < 1$;
• $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = -\sqrt{2}$;
• $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, если $a = \sqrt{2}$;
• $\pm \arccos \frac{1}{a} + 2\pi n$, если $a < -\sqrt{2}$, $-\sqrt{2} < a \leq -1$, $1 \leq a < \sqrt{2}$, $a > \sqrt{2}$.