ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 23.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^2 — 2x \cdot \cos \pi x + 1 = 0$;

б) $x^2 — 2x \cdot \sin \frac{\pi x}{2} + 1 = 0$

а) $x^2 — 2x \cdot \cos \pi x + 1 = 0$;

$D = (2 \cos \pi x)^2 — 4 = 4 \cos^2 \pi x — 4 = 4 (\cos^2 \pi x — 1)$, тогда:

$$x = \frac{2 \cos \pi x \pm 2 \sqrt{\cos^2 \pi x — 1}}{2} = \cos \pi x \pm \sqrt{\cos^2 \pi x — 1};$$

Уравнение имеет решения при:

$$\cos^2 \pi x — 1 \geq 0;$$ $$\cos^2 \pi x — 1 = 0;$$ $$\cos^2 \pi x = 1;$$ $$\cos \pi x = \pm 1;$$ $$\pi x = \pi n;$$ $$x = n;$$

Подставим значения $x$:

$$x = \cos \pi x \pm \sqrt{\cos^2 \pi x — 1} = \cos \pi x;$$ $$n = \cos \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$n = -1 \quad => \quad -1 = \cos(-\pi) = \cos \pi = -1;$$ $$n = 0 \quad => \quad 0 = \cos(\pi \cdot 0) = \cos 0 = 1;$$ $$n = 1 \quad => \quad 1 = \cos \pi = -1;$$

Ответ: $x = -1$.

б) $x^2 — 2x \cdot \sin \frac{\pi x}{2} + 1 = 0$;

$D = \left( 2 \sin \frac{\pi x}{2} \right)^2 — 4 = 4 \sin^2 \frac{\pi x}{2} — 4 = 4 \left( \sin^2 \frac{\pi x}{2} — 1 \right)$, тогда:

$$x = \frac{2 \sin \frac{\pi x}{2} \pm 2 \sqrt{\sin^2 \frac{\pi x}{2} — 1}}{2} = \sin \frac{\pi x}{2} \pm \sqrt{\sin^2 \frac{\pi x}{2} — 1};$$

Уравнение имеет решения при:

$$\sin^2 \frac{\pi x}{2} — 1 \geq 0;$$ $$\sin^2 \frac{\pi x}{2} — 1 = 0;$$ $$\sin^2 \frac{\pi x}{2} = 1;$$ $$\sin \frac{\pi x}{2} = \pm 1;$$ $$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\pi x = \pi + 2\pi n;$$ $$x = 2n + 1;$$

Подставим значения $x$:

$$x = \sin \frac{\pi x}{2} \pm \sqrt{\sin^2 \frac{\pi x}{2} — 1} = \sin \frac{\pi x}{2};$$ $$2n + 1 = \sin \frac{\pi (2n + 1)}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$2n + 1 = -1 \quad => \quad -1 = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} = -1;$$ $$2n + 1 = 1 \quad => \quad 1 = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$

Ответ: $x = \pm 1$.

а)

$$x^2 — 2x \cdot \cos(\pi x) + 1 = 0$$

1. Находим дискриминант.

Для начала, это квадратное уравнение по переменной $x$, с коэффициентами:

• $a = 1$
• $b = -2 \cos(\pi x)$
• $c = 1$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-2 \cos(\pi x))^2 — 4(1)(1) = 4 \cos^2(\pi x) — 4$$

Выделим общий множитель:

$$D = 4(\cos^2(\pi x) — 1)$$

Теперь преобразуем выражение $\cos^2(\pi x) — 1$:

$$\cos^2(\pi x) — 1 = -\sin^2(\pi x)$$

Таким образом, дискриминант можно записать как:

$$D = -4 \sin^2(\pi x)$$

2. Условие существования корней.

Для того чтобы уравнение имело реальные корни, дискриминант должен быть больше или равен нулю. Следовательно:

$$-4 \sin^2(\pi x) \geq 0$$

Так как $\sin^2(\pi x)$ всегда неотрицательно (больше или равно 0), это условие выполняется только в случае, если:

$$\sin^2(\pi x) = 0$$

Таким образом:

$$\sin(\pi x) = 0$$

Решением этого уравнения является:

$$\pi x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Тогда:

$$x = n$$

3. Проверка значений $x = n$.

Подставим $x = n$ в исходное уравнение $x^2 — 2x \cdot \cos(\pi x) + 1 = 0$ и проверим, когда оно выполняется.

• Для $x = n$, $\cos(\pi x) = \cos(n\pi) = (-1)^n$.
• Подставляем в уравнение:

$$n^2 — 2n \cdot (-1)^n + 1 = 0$$

Рассмотрим два случая:

• Когда $n$ — четное ($n = 2k$), $\cos(\pi n) = 1$, уравнение принимает вид:

$$n^2 — 2n \cdot 1 + 1 = 0$$ $$n^2 — 2n + 1 = 0$$ $$(n — 1)^2 = 0$$ $$n = 1$$

• Когда $n$ — нечетное ($n = 2k + 1$), $\cos(\pi n) = -1$, уравнение принимает вид:

$$n^2 — 2n \cdot (-1) + 1 = 0$$ $$n^2 + 2n + 1 = 0$$ $$(n + 1)^2 = 0$$ $$n = -1$$

Таким образом, у нас получаются два решения: $x = 1$ и $x = -1$.

б)

$$x^2 — 2x \cdot \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + 1 = 0$$

1. Находим дискриминант.

Аналогично уравнению а), мы видим, что это тоже квадратное уравнение по переменной $x$, с коэффициентами:

• $a = 1$
• $b = -2 \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)$
• $c = 1$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = \left( -2 \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) \right)^2 — 4(1)(1) = 4 \sin^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right) — 4$$

Выделим общий множитель:

$$D = 4 \left( \sin^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right) — 1 \right)$$

Преобразуем выражение $\sin^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right) — 1$:

$$\sin^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right) — 1 = -\cos^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right)$$

Таким образом, дискриминант можно записать как:

$$D = -4 \cos^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right)$$

2. Условие существования корней.

Для того чтобы уравнение имело реальные корни, дискриминант должен быть больше или равен нулю. Следовательно:

$$-4 \cos^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right) \geq 0$$

Это условие выполняется только в случае, если:

$$\cos^2 \left( \frac{\pi x}{2} \right) = 0$$

Таким образом:

$$\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) = 0$$

Решением этого уравнения является:

$$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Тогда:

$$x = 2n + 1$$

3. Проверка значений $x = 2n + 1$.

Подставим $x = 2n + 1$ в исходное уравнение $x^2 — 2x \cdot \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + 1 = 0$ и проверим, когда оно выполняется.

• Для $x = 2n + 1$, $\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi (2n + 1)}{2} \right) = (-1)^n$.
• Подставляем в уравнение:

$$(2n + 1)^2 — 2(2n + 1) \cdot (-1)^n + 1 = 0$$

Рассмотрим два случая:

• Когда $n$ — четное ($n = 2k$), $\sin \left( \frac{\pi (2n + 1)}{2} \right) = 1$, уравнение принимает вид:

$$(2n + 1)^2 — 2(2n + 1) \cdot 1 + 1 = 0$$ $$(2n + 1)^2 — 2(2n + 1) + 1 = 0$$ $$4n^2 + 4n + 1 — 4n — 2 + 1 = 0$$ $$4n^2 = 0$$ $$n = 0$$

• Когда $n$ — нечетное ($n = 2k + 1$), $\sin \left( \frac{\pi (2n + 1)}{2} \right) = -1$, уравнение принимает вид:

$$(2n + 1)^2 — 2(2n + 1) \cdot (-1) + 1 = 0$$ $$(2n + 1)^2 + 2(2n + 1) + 1 = 0$$ $$4n^2 + 4n + 1 + 4n + 2 + 1 = 0$$ $$4n^2 + 8n + 4 = 0$$ $$n^2 + 2n + 1 = 0$$ $$(n + 1)^2 = 0$$ $$n = -1$$

Таким образом, $x = -1$ и $x = 1$.

Ответы:

а) Уравнение имеет решения $x = -1$.

б) Уравнение имеет решения $x = \pm 1$.